Operaciones con polinomios: suma, producto y división

Concepto previo

Un polinomio $P(x) = a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0$ con $a_n \neq 0$ tiene grado $gr(P) = n$.

• El conjunto de polinomios es cerrado para suma, resta y multiplicación, pero no para la división exacta.

1. Suma y Resta

• Se agrupan y reducen términos semejantes (misma parte literal $x^k$).
• Fórmula: $P(x) \pm Q(x) = \sum_{k=0}^{n} (a_k \pm b_k)x^k$.

Propiedades del grado:

• $gr(P \pm Q) \leq \max(gr(P), gr(Q))$.
• Si $gr(P) \neq gr(Q)$, entonces $gr(P \pm Q) = \max(gr(P), gr(Q))$.

Ejemplo: con $P(x) = 3x^3 - 2x + 5$ y $Q(x) = x^3 + 4x^2 - 2$:

• $P + Q = 4x^3 + 4x^2 - 2x + 3$
• $P - Q = 2x^3 - 4x^2 - 2x + 7$

2. Multiplicación

• Se aplica la propiedad distributiva y la regla $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
• Propiedad del grado: $gr(P \cdot Q) = gr(P) + gr(Q)$.

Ejemplo: $(2x+1)(x^2 - 3x + 4) = 2x^3 - 5x^2 + 5x + 4$.

Productos notables

• $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
• $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

3. División

Dados $D(x)$ y $d(x) \neq 0$, existen únicos $Q(x)$ y $R(x)$ tales que:

$$D(x) = d(x) \cdot Q(x) + R(x), \quad R(x) = 0 \text{ o } gr(R) < gr(d)$$

• Si $R(x) = 0$, la división es exacta.
• Método clásico: ordenar de mayor a menor grado, dividir términos líderes, multiplicar, restar y repetir.
• Ejemplo: $x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = (x+1)(x^2 + x - 6) + 0$.

Regla de Ruffini (divisor $x - a$)

• Solo se operan los coeficientes.
• El último número es el resto $R$; los demás son coeficientes de $Q(x)$ (grado una unidad menor).
• Teorema del resto: $R = P(a)$.

4. Tabla Resumen del Grado

Ideas clave para el examen

• Ordenar y completar con $0x^k$ los términos faltantes antes de dividir.
• En la resta, cambiar el signo de todos los términos del sustraendo.
• Verificar la división con $D(x) = d(x)Q(x) + R(x)$.