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Potencia de una potencia: regla, ejemplo y errores

Contenido del mapa
  • Potencia elevada a un exponente — Una potencia dentro de otra potencia se resuelve multiplicando los exponentes.
    • ¿Qué significa? — Repetir la potencia interior n veces completas.
      • Base a — Es el número de abajo que se multiplica una y otra vez.
      • Exponentes m y n — m dice cuántas veces se multiplica a; n dice cuántas veces se repite a^m.
      • Potencia a^m — Es el bloque interior que se usa como base del exponente exterior.
    • Regla principal — Conserva la base y multiplica los exponentes.
      • Fórmula — La regla es (a^m)^n = a^{m·n}.
      • Condición — Vale con a real y m, n enteros; si hay exponente negativo, a debe ser distinto de cero.
    • Por qué se multiplica — Sumar m repetido n veces equivale a multiplicar m·n.
      • Repetir n veces — (a^m)^n es a^m · a^m · ... · a^m repetido n veces.
      • Contar factores a — Cada a^m aporta m factores a, en total m + m + ... + m.
      • De suma a producto — Sumar m n veces es m·n, por eso el resultado es a^{m·n}.
    • Ejemplo resuelto — Aplicación paso a paso con (2^3)^2.
      • Multiplica exponentes — Identificas base 2, m=3 y n=2; luego 3·2=6 y queda 2^6.
      • Calcula el valor — Desarrollas 2^6 = 64 como producto de seis doses.
    • Claves y errores — Lo que debes recordar para no equivocarte.
      • No se suma — El error común es hacer (x^4)^3 = x^7; lo correcto es x^12.
      • Orden no importa — (a^m)^n = (a^n)^m = a^{m·n}, por ejemplo (5^2)^4 = 5^8.
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La potencia de una potencia ocurre cuando una potencia se eleva a otro exponente: (aᵐ)ⁿ. La regla es conservar la base y multiplicar los exponentes: (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ. Se multiplica porque aᵐ se repite n veces y cada copia aporta m factores a. Ejemplo: (2³)² = 2⁶ = 64. El error común es sumar: (x⁴)³ es x¹², no x⁷.

Lo esencial de Potencia elevada a un exponente

  • Regla: (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ; se conserva la base y se multiplican los exponentes.
  • Vale con a real y m, n enteros; con exponentes negativos, a debe ser distinto de cero.
  • Sumar m un total de n veces da m·n, por eso se multiplican los exponentes.
  • Ejemplo: (2³)² = 2⁶ = 64.
  • Error común: (x⁴)³ no es x⁷; lo correcto es x¹².
  • El orden no importa: (aᵐ)ⁿ = (aⁿ)ᵐ; por ejemplo, (5²)⁴ = 5⁸.

Preguntas frecuentes

¿En la potencia de una potencia se suman o se multiplican los exponentes?
Se multiplican. Los exponentes se suman cuando se multiplican potencias de la misma base, no cuando una potencia se eleva a otro exponente.
¿Cuánto es (2³)²?
Se multiplican los exponentes, 3·2 = 6, y queda 2⁶ = 64.
¿Importa el orden de los exponentes?
No. (aᵐ)ⁿ = (aⁿ)ᵐ = aᵐ·ⁿ, por ejemplo (5²)⁴ = 5⁸.

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