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Potenciación: definición, signos y propiedades

Contenido del mapa
  • Potenciación — Abrevia la multiplicación repetida de un mismo número.
    • Definición — Idea central y elementos de la potencia.
      • Fórmula a^n — a^n es multiplicar a por sí misma n veces.
      • Elementos — Base (a): factor que se repite. Exponente (n): veces que se repite.
      • Ejemplo base — 2^3 = 2·2·2 = 8 y 5^2 = 25.
    • Exponentes especiales — Extensión de la definición más allá de n natural.
      • Exponente cero: a^0=1 — Válido para a distinto de 0. 0^0 no se define.
      • Exponente uno: a^1=a — Toda base elevada a 1 es ella misma.
      • Exponente negativo — a^-n = 1/a^n. Ejemplo: 2^-3 = 1/8.
    • Signo de la potencia — El signo depende de la base y del exponente.
      • Base positiva — Siempre da resultado positivo. Ejemplo: 3^2=9.
      • Base negativa par — Exponente par da positivo. (-2)^4=16.
      • Base negativa impar — Exponente impar da negativo. (-2)^3=-8.
      • Cuidado: -2^2 — (-2)^2=4 pero -2^2=-(2^2)=-4.
    • Propiedades fundamentales — Reglas para multiplicar, dividir y elevar potencias.
      • Producto bases iguales — a^m·a^n = a^(m+n). Ej: 2^3·2^2=2^5.
      • Cociente bases iguales — a^m/a^n = a^(m-n). Ej: 3^5/3^2=3^3.
      • Potencia de potencia — (a^m)^n = a^(m·n). Ej: (5^2)^3=5^6.
      • Potencia de producto — (a·b)^n = a^n·b^n. Ej: (2·3)^2=36.
      • Potencia de cociente — (a/b)^n = a^n/b^n. Con inversión: (a/b)^-n=(b/a)^n.
    • Errores frecuentes — Confusiones que debes evitar al aplicar propiedades.
      • Suma no se suma exponentes — a^m+a^n no es a^(m+n). Ej: 2^2+2^3=12.
      • Binomio no se distribuye — (a+b)^n no es a^n+b^n. Ej: (1+2)^2=9.
      • Potencia no es suma — (a^m)^n = a^(m·n), no a^(m+n). Ej: (2^3)^2=2^6.
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La potenciación es la operación que abrevia la multiplicación repetida de un mismo número: aⁿ es multiplicar la base a por sí misma n veces. Por ejemplo, 2³ = 2 · 2 · 2 = 8. Todo número distinto de cero elevado a 0 es 1 y un exponente negativo invierte: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Con base negativa, el exponente par da positivo y el impar, negativo.

Lo esencial de Definición y propiedades de la potenciación

  • 0⁰ no está definido; a⁰ = 1 solo si a es distinto de 0.
  • Exponente negativo: 2⁻³ = 1/8.
  • (−2)⁴ = 16 y (−2)³ = −8; además, (−2)² = 4 pero −2² = −4.
  • Producto de bases iguales: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; cociente: aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ.
  • Potencia de un producto: (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ; de un cociente: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ.
  • Error: aᵐ + aⁿ no es aᵐ⁺ⁿ, y (a + b)ⁿ no es aⁿ + bⁿ.

Preguntas frecuentes

¿Cuánto es cualquier número elevado a cero?
Todo número distinto de cero elevado a 0 es 1. La expresión 0⁰ no está definida.
¿Por qué (−2)² es distinto de −2²?
En (−2)² se eleva el −2 completo y da 4; en −2² solo se eleva el 2 y luego se pone el signo, dando −4.
¿Se pueden sumar exponentes al sumar potencias?
No. Los exponentes se suman al multiplicar potencias de igual base, no al sumarlas: 2² + 2³ = 12, no 2⁵.

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