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Sumatorias: propiedades, sumas notables y telescópicas

Infografía de sumatorias con su notación, propiedades, sumas notables, sumatorias telescópicas y estrategia de resolución
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La sumatoria (Σ) es una notación que representa de forma compacta la suma de varios términos de una sucesión: Σ aᵢ desde i = 1 hasta n = a₁ + a₂ + … + aₙ. Tiene límite inferior, límite superior y término general. Sus sumas notables más usadas son la de los primeros n enteros, n(n + 1)/2; la de cuadrados, n(n + 1)(2n + 1)/6; y la de cubos, [n(n + 1)/2]².

Lo esencial de Sumatorias

  • Linealidad: Σ(aᵢ + bᵢ) = Σaᵢ + Σbᵢ.
  • Factor constante: Σ k·aᵢ = k·Σ aᵢ.
  • Progresión aritmética: Σ (a + (i − 1)d) = (n/2)[2a + (n − 1)d].
  • Progresión geométrica: Σ rⁱ de i = 0 a n = (rⁿ⁺¹ − 1)/(r − 1), con r ≠ 1.
  • Telescópica: Σ (aᵢ₊₁ − aᵢ) de i = 1 a n = aₙ₊₁ − a₁.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la fórmula de la suma de los primeros n números naturales?
1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2.
¿Cuál es la fórmula de la suma de cuadrados?
1² + 2² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6.
¿Qué es una sumatoria telescópica?
Es aquella en la que, al expandir los términos, se cancelan la mayoría y quedan solo unos pocos, como Σ (aᵢ₊₁ − aᵢ) = aₙ₊₁ − a₁.

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