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Divisibilidad: criterios, números primos, MCD y mcm

Contenido del mapa
  • Divisibilidad — Concepto central: relación entre números enteros donde la división es exacta.
    • Definición — a divisible entre b si existe c tal que a = b*c.
      • Divisor — Número que divide exactamente a otro.
      • Múltiplo — Resultado de multiplicar un número por un entero.
    • Criterios de divisibilidad — Reglas para saber si un número es divisible por otro sin dividir.
      • Divisibilidad por 2, 3, 5 — Reglas básicas: par, suma de cifras múltiplo de 3, termina en 0 o 5.
      • Divisibilidad por 4, 6, 8, 9, 10, 11 — Reglas específicas para estos divisores.
    • Números primos y compuestos — Clasificación de números según sus divisores.
      • Número primo — Tiene exactamente dos divisores: 1 y sí mismo.
      • Número compuesto — Tiene más de dos divisores.
    • Descomposición en factores primos — Expresar un número como producto de potencias de primos.
      • Teorema Fundamental de la Aritmética — Todo número entero >1 se descompone de forma única en factores primos.
    • Máximo común divisor (MCD) — Mayor divisor común a dos o más números.
      • Cálculo mediante descomposición — Se toman los factores comunes con menor exponente.
    • Mínimo común múltiplo (mcm) — Menor múltiplo común a dos o más números.
      • Cálculo mediante descomposición — Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.
    • Aplicaciones — Uso en fracciones, problemas de reparto, etc.
      • Simplificación de fracciones — Dividir numerador y denominador por su MCD.
      • Resolución de problemas — Problemas de divisibilidad en contextos cotidianos.
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La divisibilidad es la relación entre números enteros en la que la división es exacta: a es divisible entre b (distinto de cero) si existe un entero c tal que a = b · c. Incluye criterios para saber si un número es divisible sin dividir, como ser par para el 2 o tener suma de cifras múltiplo de 3. Es la base de los primos, la descomposición en factores primos, el MCD y el mcm.

Lo esencial de Divisibilidad

  • a es divisible entre b si existe un entero c tal que a = b · c, con residuo cero.
  • Criterios: por 2 si termina en par, por 3 si sus cifras suman un múltiplo de 3, por 5 si termina en 0 o 5.
  • Un número primo tiene exactamente dos divisores: 1 y él mismo; uno compuesto tiene más de dos.
  • Teorema fundamental de la aritmética: todo entero mayor que 1 se descompone de forma única en factores primos.
  • MCD: factores comunes con el menor exponente; mcm: comunes y no comunes con el mayor exponente.
  • Para simplificar una fracción se dividen numerador y denominador entre su MCD.

Preguntas frecuentes

¿Cuándo un número es divisible por 3?
Cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.
¿Qué dice el teorema fundamental de la aritmética?
Que todo número entero mayor que 1 se puede descomponer de forma única como producto de factores primos.
¿Cuál es la diferencia entre divisor y múltiplo?
Un divisor divide exactamente a otro número; un múltiplo es el resultado de multiplicar un número por un entero.

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