Longitud de arco: fórmula en radianes y grados

1. Idea central

• La longitud de arco ($L$) es lo que mide un trozo curvo del borde de un círculo.
• A mayor radio o mayor apertura del ángulo, más largo será ese trozo.
• Se halla con una sola multiplicación.

• Piensa en una pizza: el borde completo es la circunferencia. El borde curvo de una tajada pequeña es corto. Si juntas tres tajadas, el borde es más largo. Eso es $L$.

2. Vocabulario mínimo

• Circunferencia: línea curva cerrada que forma el borde. Como el borde de un plato.
• Radio ($r$): distancia recta desde el centro hasta el borde. Como el rayo de una rueda.
• Ángulo central: ángulo con vértice en el centro que recorta el trozo. Como dos cortes de torta unidos en el centro.
  • $θ$ si está en radianes ($rad$)
  • $α$ si está en grados ($°$)
• Arco: trozo curvo del borde que queda entre esos dos cortes.
• Longitud de arco ($L$): cuánto mide ese trozo curvo si lo estiraras como un hilo. Usa la misma unidad que $r$.

3. Qué es un radián

• Un radián es el ángulo central donde el arco mide exactamente lo mismo que el radio.
• Si $L = r$, el ángulo vale $1 rad$.
• Arco y ángulo son proporcionales: doble ángulo = doble arco. Por eso la fórmula es tan corta.

4. Fórmulas clave

• Con radianes:

$$L = r · θ$$

• Condición clave: $θ$ debe estar en $rad$. Es la forma más simple.
• Con grados:

$$L = (π · r · α) / 180$$

• Condición clave: $α$ es solo el número de grados.
• Equivalencia base para convertir:

$$360° = 2 · π rad$$ $$θ = (π · α) / 180$$

5. Ejemplo modelo

• Datos: $r = 9 cm$ y ángulo de $120°$. Este paso ordena la información y aclara la unidad.
• Elige la fórmula: como está en grados, usa $L = (π · r · α) / 180$. No sirve $L = r · θ$.
• Reemplaza:

$$L = (π · 9 cm · 120) / 180$$

• Simplifica la fracción: $120 / 180 = 2 / 3$, entonces:

$$L = π · 9 cm · 2 / 3$$ $$L = 6 · π cm$$

• Este es el valor exacto.
• Da un valor aproximado: con $π ≈ 3,14$:

$$L ≈ 6 · 3,14 cm$$ $$L ≈ 18,84 cm$$

• Verifica el sentido: $120°$ es la tercera parte de $360°$, y el arco es la tercera parte del borde completo.

6. Errores típicos que te quitan puntos

• Mezclar grados con la fórmula de radianes. Si el dato está en $°$, convierte o usa la fórmula de grados.
• Olvidar las unidades. Si $r$ está en $cm$, $L$ queda en $cm$. No cambies a metros sin convertir.
• Pensar que el arco es recto. El arco es curvo. No es la línea recta entre sus extremos.

7. Para memorizar

• $L$ es la medida del borde curvo correspondiente a un ángulo central.
• Si $θ$ está en $rad$, usa $L = r · θ$.
• Si $α$ está en grados, usa $L = (π · r · α) / 180$.
• $L$ y $r$ llevan siempre la misma unidad.
• A mayor radio o mayor ángulo, mayor $L$.