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Ángulos notables: razones de 15°, 30°, 45°, 60° y 75°

Contenido del mapa
  • Ángulos notables — Ángulos de 15°, 30°, 45°, 60° y 75° cuyas razones trigonométricas son valores exactos con raíces.
    • Ángulos de 30° y 60° — Se deducen del triángulo equilátero de lado 2 cortado por su altura.
      • Triángulo equilátero — Hipotenusa 2, cateto menor 1 y cateto mayor √3 por Pitágoras.
      • Valores de 30° — sen 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tan 30° = √3/3.
      • Valores de 60° — sen 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tan 60° = √3.
    • Ángulo de 45° — Se deduce del triángulo rectángulo isósceles de catetos 1.
      • Triángulo isósceles — Catetos iguales a 1 e hipotenusa √2 por Pitágoras.
      • Valores de 45° — sen 45° = cos 45° = √2/2 y tan 45° = 1.
    • Ángulos de 15° y 75° — Son complementarios y se obtienen por suma y diferencia: 15° = 45° − 30° y 75° = 45° + 30°.
      • Fórmulas usadas — sen(A ± B) = senA cosB ± cosA senB y cos(A ± B) = cosA cosB ∓ senA senB.
      • Valores de 15° — sen 15° = (√6 − √2)/4, cos 15° = (√6 + √2)/4, tan 15° = 2 − √3.
      • Valores de 75° — sen 75° = (√6 + √2)/4, cos 75° = (√6 − √2)/4, tan 75° = 2 + √3.
    • Relación de cofunción — Los ángulos de cada par suman 90°, por lo que sus senos y cosenos se intercambian.
      • Pares complementarios — 30° con 60° y 15° con 75° suman 90°.
      • Intercambio de valores — sen θ = cos(90° − θ): por ejemplo sen 75° = cos 15°.
      • Tangentes recíprocas — tan 75° = cot 15°, de modo que tan 15° · tan 75° = 1.
    • Tabla resumen y trucos — Presenta todos los valores exactos juntos y reglas para memorizarlos con facilidad.
      • Tabla de valores exactos — Reúne seno, coseno y tangente de los cinco ángulos notables.
      • Cómo memorizar — Basta con seno y coseno: la tangente se calcula como tan θ = sen θ / cos θ.
      • Verificación rápida — Los senos crecen con el ángulo y los cosenos decrecen: sen 15° < sen 30° < sen 45° < sen 60° < sen 75°.
      • Valores aproximados — Referencias útiles: sen 15° ≈ 0,259 y sen 75° ≈ 0,966.
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Los ángulos notables son 15°, 30°, 45°, 60° y 75°, cuyas razones trigonométricas tienen valores exactos con raíces. Los de 30° y 60° salen del triángulo equilátero de lado 2; el de 45°, del triángulo rectángulo isósceles de catetos 1. Los de 15° y 75° se obtienen con suma y diferencia de ángulos: sen 15° = (√6 − √2)/4 y tan 15° = 2 − √3.

Lo esencial de Razones trigonométricas de 15°, 30°, 45°, 60° y 75°

  • sen 30° = 1/2, cos 30° = √3/2 y tan 30° = √3/3.
  • sen 60° = √3/2, cos 60° = 1/2 y tan 60° = √3.
  • sen 45° = cos 45° = √2/2 y tan 45° = 1.
  • sen 75° = (√6 + √2)/4, cos 75° = (√6 − √2)/4 y tan 75° = 2 + √3.
  • Cofunción: sen θ = cos(90° − θ), por ejemplo sen 75° = cos 15°.
  • tan 15° · tan 75° = 1; basta memorizar seno y coseno, porque tan θ = sen θ / cos θ.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se obtiene el seno de 15°?
Con la fórmula de diferencia de ángulos, usando 15° = 45° − 30°: sen 15° = (√6 − √2)/4.
¿De dónde salen los valores de 30° y 60°?
De un triángulo equilátero de lado 2 cortado por su altura: hipotenusa 2, cateto menor 1 y cateto mayor √3.
¿Cuánto vale tan 75°?
tan 75° = 2 + √3, y su producto con tan 15° = 2 − √3 es 1.

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