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FormatomFormatomEngranajes: MCM y MCD es un juego de práctica para dominar el mínimo común múltiplo (MCM) y el máximo común divisor (MCD), un tema base de Aritmética que aparece siempre en el examen de admisión universitaria en Perú (UNMSM, UNI y academias preuniversitarias). Es gratis, sin registro y se juega al instante en el navegador (móvil o computadora), como preparación para el examen de admisión universitaria en Perú (UNMSM, UNI y más).
El máximo común divisor (MCD) de dos o más números es el número más grande que los divide a todos exactamente, sin dejar residuo. Por ejemplo, el MCD de 12 y 18 es 6, porque 6 es el mayor número que cabe una cantidad entera de veces tanto en 12 como en 18. El MCD nunca es mayor que el más pequeño de los números.
El mínimo común múltiplo (MCM) de dos o más números es el número más pequeño que es múltiplo de todos ellos a la vez. Por ejemplo, el MCM de 12 y 18 es 36, porque 36 es el primer número que aparece en la tabla del 12 y también en la del 18. El MCM nunca es menor que el más grande de los números. Estos dos conceptos son la base de las fracciones, las razones y proporciones y muchos problemas de planteo del examen de admisión.
La forma más segura de calcular el MCM y el MCD es descomponer cada número en factores primos, es decir, escribirlo como un producto de números primos elevados a exponentes. Por ejemplo, 12 = 2² · 3 y 18 = 2 · 3². Con las descomposiciones a la vista, las reglas son mecánicas y no se prestan a confusión.
Para el MCD se toman únicamente los factores primos comunes a todos los números, cada uno con su MENOR exponente, y se multiplican. Para 12 y 18, el factor común es 2 (menor exponente 1) y 3 (menor exponente 1): MCD = 2 · 3 = 6. Para el MCM se toman TODOS los factores primos que aparecen (comunes y no comunes), cada uno con su MAYOR exponente: MCM = 2² · 3² = 36. Un truco de control: MCM(a, b) × MCD(a, b) = a × b.
Dos engranajes que giran juntos ilustran perfectamente el MCM. Si marcas un diente de cada rueda y las pones a girar desde la posición alineada, las marcas vuelven a coincidir justo después de que pasen MCM(a, b) dientes. Con ruedas de 8 y 12 dientes, las marcas se reencuentran cada 24 dientes, porque MCM(8, 12) = 24. La misma idea explica cada cuántos segundos coinciden dos semáforos o cada cuántos días dos ciclos vuelven a empezar el mismo día.
El MCD, en cambio, responde a los problemas de repartir en partes iguales lo más grandes posibles: cortar dos cintas de distinta longitud en trozos iguales sin desperdicio, o agrupar objetos en cajas idénticas. El juego mezcla ambos tipos de pregunta dentro de la sesión (práctica intercalada), lo que obliga a elegir el método correcto cada vez en lugar de repetir en piloto automático, y eso mejora la retención.
Calcula el MCD y el MCM de 12 y 18.
Solución: MCD = 6 y MCM = 36 (verificación: 6 × 36 = 216 = 12 × 18).
Dos engranajes de 8 y 12 dientes parten alineados. ¿Después de cuántos dientes vuelven a coincidir sus marcas?
Solución: Cada 24 dientes vuelven a alinearse.
Se quieren cortar dos ruedas dentadas de 24 y 36 dientes en bloques iguales, del mayor tamaño posible. ¿De cuántos dientes es cada bloque?
Solución: Cada bloque es de 12 dientes.
Estos son ejemplos del tipo de preguntas que practicarás, con su respuesta y una breve explicación. En el juego aparecen cronometradas, intercaladas y con dificultad adaptativa.
¿Cuál es el MCM de 4 y 6?
Respuesta: 12. Múltiplos de 4: 4, 8, 12… Múltiplos de 6: 6, 12… El menor que comparten es 12.
¿Cuál es el MCM de 3 y 5?
Respuesta: 15. Al ser primos entre sí, el MCM es su producto: 3 × 5 = 15.
¿Cuál es el MCD de 12 y 18?
Respuesta: 6. Divisores comunes: 1, 2, 3 y 6. El mayor es 6.
¿Cuál es el MCM de 8 y 12?
Respuesta: 24. 8 = 2³ y 12 = 2²×3; el MCM toma el mayor exponente de cada primo: 2³×3 = 24.
¿Cuál es el MCD de 15 y 25?
Respuesta: 5. Divisores comunes de 15 y 25: 1 y 5. El mayor es 5.
¿Cuál es el MCM de 7 y 9?
Respuesta: 63. 7 y 9 no comparten factores primos, así que el MCM es 7 × 9 = 63.
El máximo común divisor (MCD) es el número más grande que divide exactamente a todos los números dados; sirve para repartir en partes iguales lo más grandes posibles. El mínimo común múltiplo (MCM) es el número más pequeño que es múltiplo de todos ellos; sirve para saber cada cuánto coinciden cosas que se repiten. El MCD nunca supera al número más pequeño y el MCM nunca es menor que el más grande.
Primero se descompone cada número en factores primos. Para el MCD se multiplican solo los factores comunes a todos, tomando el menor exponente de cada uno. Para el MCM se multiplican todos los factores que aparecen (comunes y no comunes), tomando el mayor exponente de cada uno. Por ejemplo, con 12 = 2² · 3 y 18 = 2 · 3², el MCD es 2 · 3 = 6 y el MCM es 2² · 3² = 36.
Para dos números a y b se cumple que MCM(a, b) × MCD(a, b) = a × b. Esta identidad sirve para verificar resultados o para hallar uno a partir del otro. Por ejemplo, si a = 12, b = 18 y MCD = 6, entonces MCM = (12 × 18) / 6 = 216 / 6 = 36. Ten en cuenta que esta fórmula directa funciona con dos números; para tres o más conviene usar la descomposición en factores primos.
Si el problema habla de cosas que se repiten y quieres saber cada cuánto vuelven a coincidir (engranajes, semáforos, campanadas, ciclos que se juntan), casi siempre es un MCM. Si el problema pide dividir o agrupar en partes iguales lo más grandes posibles, sin que sobre nada (cortar cintas, armar cajas idénticas, formar filas iguales), es un MCD.
Sirve para cualquier examen de admisión universitaria en Perú y Latinoamérica que evalúe Aritmética o Matemática, como el de la UNMSM (San Marcos), la UNI o academias preuniversitarias. El MCM y el MCD son base de la suma de fracciones, la simplificación, las razones y proporciones y numerosos problemas de planteo, por lo que dominarlos ahorra tiempo en todo el examen.
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