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Resumen: Definición y Propiedades de la Radicación · Formatom
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Definición y Propiedades de la Radicación
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Definición y Propiedades de la Radicación
1. Definición de radicación
La
radicación
es la operación inversa de la potenciación.
Consiste en hallar la
raíz (b)
que elevada al
índice (n)
reproduce el
radicando (a)
:
a
n
=
b
⟺
b
n
=
a
\sqrt[n]{a} = b \iff b^n = a
n
a
=
b
⟺
b
n
=
a
Elementos:
n:
índice (
n
∈
N
,
n
≥
2
n \in \mathbb{N}, n \ge 2
n
∈
N
,
n
≥
2
)
a:
radicando o cantidad subradical
b:
raíz enésima
\sqrt{}
:
signo radical
2. Condiciones de existencia en R
Si n es impar:
existe para todo
a
∈
R
a \in \mathbb{R}
a
∈
R
y conserva el signo:
8
3
=
2
\sqrt[3]{8}=2
3
8
3. Relación con la potenciación
Todo radical es una
potencia de exponente fraccionario
(para
a
>
0
a>0
a
>
0
):
a
m
n
=
a
m
n
\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}
n
a
m
=
a
En particular:
a
n
=
a
1
n
\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}
n
a
=
a
Esto permite aplicar las leyes de exponentes a los radicales.
4. Propiedades fundamentales
1. Raíz de un producto:
a
⋅
b
n
=
a
n
⋅
b
n
\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}
n
a
⋅
b
=
5. Claves para el examen
No hay distributividad con suma o resta:
a
+
b
≠
a
+
b
\sqrt{a+b} \ne \sqrt{a}+\sqrt{b}
a
+
b
=
Ej:
9
+
16
=
25
=
5
\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5
9
+
16
=
25
, pero
Comentarios
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Casos especiales:
Si
n
=
2
n=2
n
=
2
:
raíz cuadrada
, se omite el índice:
25
=
5
\sqrt{25}=5
25
=
5
porque
5
2
=
25
5^2=25
5
2
=
25
Si
n
=
3
n=3
n
=
3
:
raíz cúbica
:
−
27
3
=
−
3
\sqrt[3]{-27}=-3
3
−
27
porque
=
2
−
8
3
=
−
2
\sqrt[3]{-8}=-2
3
−
8
=
−
2
0
5
=
0
\sqrt[5]{0}=0
5
0
=
0
Si n es par:
solo existe si
a
≥
0
a \ge 0
a
≥
0
. El resultado es no negativo (raíz aritmética):
36
=
6
\sqrt{36}=6
36
=
6
0
4
=
0
\sqrt[4]{0}=0
4
0
=
0
−
4
\sqrt{-4}
−
4
no existe en
R
\mathbb{R}
R
¡No confundir!
9
=
3
\sqrt{9}=3
9
=
3
Pero
x
2
=
9
⇒
x
=
±
3
x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3
x
2
=
9
⇒
x
=
±
3
n
m
n
1
n
a
⋅
n
b
Ej:
4
⋅
9
=
4
⋅
9
=
2
⋅
3
=
6
\sqrt{4 \cdot 9}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{9}=2\cdot 3=6
4
⋅
9
=
4
⋅
9
=
2
⋅
3
=
6
2. Raíz de un cociente:
a
b
n
=
a
n
b
n
,
b
≠
0
\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, b \ne 0
n
b
a
=
n
b
n
0
Ej:
8
27
3
=
2
3
\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3}
3
27
8
3. Raíz de raíz:
a
n
m
=
a
m
⋅
n
\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}
m
n
a
=
m
⋅
n
a
Ej:
64
3
=
64
6
=
2
\sqrt[3]{\sqrt{64}}=\sqrt[6]{64}=2
3
64
4. Potencia de una raíz:
(
a
n
)
m
=
a
m
n
(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}
(
n
a
)
m
=
n
a
m
Ej:
(
2
)
4
=
2
4
=
4
(\sqrt{2})^4=\sqrt{2^4}=4
(
2
)
4
=
5. Raíz de una potencia:
Si n impar:
a
n
n
=
a
\sqrt[n]{a^n}=a
n
a
n
=
a
→
(
−
2
)
3
3
=
−
2
\sqrt[3]{(-2)^3}=-2
3
(
−
2
)
3
=
−
2
Si n par:
a
n
n
=
∣
a
∣
\sqrt[n]{a^n}=|a|
n
a
n
=
∣
a
∣
→
6. Simplificación de índice y exponente:
a
m
⋅
k
n
⋅
k
=
a
m
n
\sqrt[n \cdot k]{a^{m \cdot k}} = \sqrt[n]{a^m}
n
⋅
k
a
m
⋅
k
=
n
a
m
Ej:
3
4
6
=
3
2
3
\sqrt[6]{3^4}=\sqrt[3]{3^2}
6
3
4
=
7. Ingreso y extracción de factores:
c
a
n
=
c
n
⋅
a
n
c\sqrt[n]{a} = \sqrt[n]{c^n \cdot a}
c
n
a
=
n
c
n
⋅
a
Ej:
2
3
=
4
⋅
3
=
12
2\sqrt{3}=\sqrt{4\cdot 3}=\sqrt{12}
2
3
=
4
⋅
3
a
+
b
=
5
9
+
16
=
7
\sqrt{9}+\sqrt{16}=7
9
+
16
=
7
Simplificar radicales:
extraer todos los factores posibles del radicando.
Radicales semejantes:
mismo índice y mismo radicando, se suman como términos algebraicos:
3
5
+
2
5
=
5
5
3\sqrt{5}+2\sqrt{5}=5\sqrt{5}
3
5
+
2
5
=
5
5
=
−
3
(
−
3
)
3
=
−
27
(-3)^3=-27
(
−
3
)
3
=
−
27
a
,
b
=
=
3
2
=
6
64
=
2
2
4
=
4
(
−
5
)
2
=
∣
−
5
∣
=
5
\sqrt{(-5)^2}=|-5|=5
(
−
5
)
2
=
∣
−
5∣
=
5
3
3
2
=
12
Para simplificar:
72
=
36
⋅
2
=
6
2
\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}
72
=
36
⋅
2
=
6
2
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