Operaciones Combinadas en Teoría de Exponentes

1. ¿Qué son?

• Son expresiones donde aparecen simultáneamente varias leyes de exponentes: multiplicación, división, potenciación, exponentes negativos, nulos y fraccionarios.
• No es una ley nueva, es la aplicación ordenada y simultánea de todas las leyes conocidas.
• Objetivo final:
  • Mínimo número de bases
  • Exponentes positivos
  • Sin exponentes nulos innecesarios

Ejemplo de forma general:

$$E = \\frac{a^{m} \\cdot b^{m} \\cdot (a^{p})^{q}}{a^{r} \\cdot b^{s}}$$

2. Leyes que debes dominar

• Producto de bases iguales: $a^{m} \\cdot a^{n} = a^{m+n}$
• Cociente de bases iguales:

Clave: solo puedes sumar o restar exponentes si las bases son iguales.

3. Estrategia de resolución en 4 pasos

1. Eliminar paréntesis y potencias externas
   • Aplica potencia de potencia, de producto y de cociente.
2. Agrupar bases iguales
   • Reordena para juntar mismas letras o números.
3. Aplicar producto y cociente
   • Suma si multiplican, resta si dividen: $x = a^{m+p-r} \\cdot b^{n+q-s}$

En resumen: resolver de adentro hacia afuera.

4. Ejemplo modelo

Simplificar:

$$E = \\frac{(x^{2})^{3} \\cdot x^{-4}}{x^{5} \\cdot x^{-7}}$$

• Paso 1: $(x^{2})^{3} = x^{6}$ → $$\begin{gathered} E= \\ frac{x}^6 \\ cdot{x}^{-4} \end{gathered}$$

Resultado: $E = x^{4}$

5. Casos típicos de examen

• Bases convertibles:
  • $4^{n} \\cdot 8^{n} = (2^{2})^{n} \\cdot (2^{3})^{n} = 2^{2n} \\cdot 2^{3n} = 2^{5n}$

6. Errores frecuentes

• $a^{m} \\cdot b^{n} \\neq (a \\cdot b)^{m+n}$ → No sumar bases diferentes.