Números Irracionales y su Representación Decimal

1. Definición de número irracional

• Un número irracional es todo número real que no puede expresarse como cociente de dos enteros.
• No existen enteros $a$ y $b$, con $b \neq 0$, tales que:

$$x = \\frac{a}{b}$$

• En símbolos:

$$x \\in \\mathbb{I} \\iff x \\in \\mathbb{R} \\text{ y } x \\notin \\mathbb{Q}$$

• El conjunto se denota por $\\mathbb{I}$ o $\\mathbb{Q}^{c}$.
• Junto con los racionales forman los reales:

$$\\mathbb{R} = \\mathbb{Q} \\cup \\mathbb{I}$$

2. Representación decimal: criterio fundamental

• Todo número real tiene expansión decimal. La clave es:
  • Racional: decimal finito o infinito periódico.
  • Irracional: decimal infinito no periódico.
• Si $x$ es irracional:

$$x = n.d_{1}d_{2}d_{3}d_{4} \\ldots$$

donde ningún bloque de dígitos se repite indefinidamente.

• Teorema: Un número es irracional si y solo si su representación decimal es infinita y no periódica.

3. Ejemplos clásicos

• Raíz cuadrada de dos:

$$\\sqrt{2} = 1.41421356237 \\ldots$$

Fue el primer irracional descubierto.

• Número pi:

$$\\pi = 3.14159265358 \\ldots$$

Razón entre circunferencia y diámetro.

• Número de Euler:

$$e = 2.71828182845 \\ldots$$

Base del logaritmo natural.

• Número de oro:

$$\\phi = \\frac{1+\\sqrt{5}}{2} = 1.6180339887 \\ldots$$

• Otros: $\\sqrt{3}$, $\\sqrt{5}$, $\\log_{10}2$, .

4. Racional vs Irracional

• Forma fraccionaria:
  • $\\mathbb{Q}$: sí admite $\\frac{a}{b}$
  • $\\mathbb{I}$: no admite $$

$$0.101001000100001 \\ldots$$

tiene regla de formación, pero ningún bloque se repite periódicamente, por eso es irracional.

5. Aproximación decimal de un irracional

• Como no se pueden escribir infinitos decimales, se usa aproximación:
  • Por truncamiento: se cortan los decimales sin modificar. Ej. $\\pi \approx 3.14$
  • Por redondeo: se aumenta en 1 el último dígito si el siguiente es mayor o igual que 5. Ej. $\\sqrt{2} = 1.4142\\ldots \approx 1.41$

6. Ideas clave para recordar

• No toda raíz es irracional: $\\sqrt{4}=2$ y $\\sqrt{9}=3$ son racionales. Solo las raíces no exactas son irracionales.
• Infinito no implica irracional: $0.333\\ldots$ es infinito pero periódico, por lo que es racional e igual a .