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Resumen: Números racionales y su representación decimal · Formatom
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Números racionales y su representación decimal
♥ 0
💬 0
Números racionales y su representación decimal
1. Definición de número racional
Un
número racional
es todo número que se puede expresar como cociente de dos enteros con denominador distinto de cero:
m
a
t
h
b
b
Q
=
l
e
f
t
f
r
a
c
a
b
,
/
,
a
i
n
m
a
t
h
b
b
Z
,
,
b
i
n
m
a
t
h
b
b
Z
,
,
b
n
e
q
0
r
i
g
h
t
\\mathbb{Q} = \\left\\{ \\frac{a}{b} \\, / \\, a \\in \\mathbb{Z}, \\, b \\in \\mathbb{Z}, \\, b \\neq 0 \\right\\}
ma
t
hbb
Q
=
l
e
f
t
f
r
a
c
a
b
,
/
,
a
in
ma
t
hbb
Z
,
,
b
in
ma
t
hbb
Z
,
,
b
Todo entero es racional:
n
=
f
r
a
c
n
1
n = \\frac{n}{1}
n
=
f
r
a
c
n
1
.
Al dividir
a
d
i
v
b
a \\div b
a
d
i
v
b
se obtiene su
representación decimal
.
2. De fracción a decimal
Para obtener el decimal se divide numerador entre denominador. Solo hay 2 resultados posibles:
Decimal exacto o finito:
número limitado de cifras decimales. Ej:
f
r
a
c
34
=
0
,
75
\\frac{3}{4} = 0,75
f
r
a
c
3
4
=
0
,
75
Decimal periódico infinito:
cifras que se repiten indefinidamente.
Puro:
f
r
a
c
13
=
0
,
333...
=
0
,
w
i
d
e
h
a
t
3
\\frac{1}{3} = 0,333... = 0,\\widehat{3}
f
r
3. Clasificación de los decimales racionales
Decimal exacto:
número finito de cifras. Ej:
f
r
a
c
78
=
0
,
875
\\frac{7}{8} = 0,875
f
r
a
c
7
8
=
0
,
875
Periódico puro:
el período empieza justo después de la coma. Ej:
f
r
a
c
511
=
0
,
w
i
d
e
h
a
t
45
\\frac{5}{11} = 0,\\widehat{45}
f
r
a
c
5
11
=
4. El denominador decide el tipo
Sea
f
r
a
c
a
b
\\frac{a}{b}
f
r
a
c
a
b
irreductible:
Exacto:
si
b
=
2
m
c
d
o
t
5
n
b = 2^{m} \\cdot 5^{n}
b
=
2
m
c
d
o
t
5
(solo factores 2 y 5). Ej:
,
5. De decimal a fracción: fracción generatriz
La
fracción generatriz
es la fracción
f
r
a
c
a
b
\\frac{a}{b}
f
r
a
c
a
b
que origina el decimal.
Caso 1 - Decimal exacto:
Número sin coma sobre 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales.
0
,
375
=
f
r
a
c
3751000
=
f
r
a
c
38
0,375 = \\frac{375}{1000} = \\frac{3}{8}
0
,
375
=
f
r
a
c
375
1000
=
6. Ideas clave para el examen
No todo decimal es racional:
solo exactos y periódicos.
Identifica el tipo mirando el denominador irreductible.
Para comparar decimales, iguala cifras o convierte a fracción con igual denominador.
Caso límite:
0
,
w
i
d
e
h
a
t
9
=
1
0,\\widehat{9} = 1
0
,
w
i
d
e
ha
t
9
=
1
. Todo racional tiene doble representación en el límite.
Comentarios
Aún no hay comentarios.
n
e
q
0
r
i
g
h
t
a
c
1
3
=
0
,
333...
=
0
,
w
i
d
e
ha
t
3
Mixto:
f
r
a
c
16
=
0
,
1666...
=
0
,
1
w
i
d
e
h
a
t
6
\\frac{1}{6} = 0,1666... = 0,1\\widehat{6}
f
r
a
c
1
6
=
0
,
1666...
=
0
,
1
w
i
d
e
ha
t
6
El
período
es el bloque que se repite y se indica con
w
i
d
e
h
a
t
;
\\widehat{\\;}
w
i
d
e
ha
t
;
.
0
,
w
i
d
e
ha
t
45
Periódico mixto:
hay
anteperíodo
(cifras no periódicas) antes del período. Ej:
f
r
a
c
712
=
0
,
58
w
i
d
e
h
a
t
3
\\frac{7}{12} = 0,58\\widehat{3}
f
r
a
c
7
12
=
0
,
58
w
i
d
e
ha
t
3
Propiedad fundamental:
Un decimal es
racional si y solo si
es exacto o periódico.
Los decimales infinitos no periódicos son
irracionales
. Ej:
p
i
=
3
,
14159...
\\pi = 3,14159...
p
i
=
3
,
14159...
n
f
r
a
c
320
\\frac{3}{20}
f
r
a
c
3
20
20
=
2
2
c
d
o
t
5
r
i
g
h
t
a
r
r
o
w
0
,
15
20 = 2^{2} \\cdot 5 \\rightarrow 0,15
20
=
2
2
c
d
o
t
5
r
i
g
h
t
a
r
r
o
w
0
,
15
Periódico puro:
si
b
b
b
no tiene ni 2 ni 5. Ej:
f
r
a
c
29
\\frac{2}{9}
f
r
a
c
2
9
,
9
=
3
2
r
i
g
h
t
a
r
r
o
w
0
,
w
i
d
e
h
a
t
2
9 = 3^{2} \\rightarrow 0,\\widehat{2}
9
=
3
2
r
i
g
h
t
a
r
r
o
w
0
,
w
i
d
e
ha
t
2
Periódico mixto:
si
b
b
b
tiene 2 o 5 y además otros primos. Ej:
f
r
a
c
514
\\frac{5}{14}
f
r
a
c
5
14
,
14
=
2
c
d
o
t
7
r
i
g
h
t
a
r
r
o
w
0
,
3
w
i
d
e
h
a
t
571428
14 = 2 \\cdot 7 \\rightarrow 0,3\\widehat{571428}
14
=
2
c
d
o
t
7
r
i
g
h
t
a
r
r
o
w
0
,
3
w
i
d
e
ha
t
571428
Por qué ocurre:
al dividir, los restos posibles son finitos:
0
,
1
,
.
.
.
,
b
−
1
0, 1, ..., b-1
0
,
1
,
...
,
b
−
1
. Por eso la división termina (resto 0) o se repite.
f
r
a
c
3
8
Regla: si hay
k
k
k
decimales,
N
=
f
r
a
c
t
e
x
t
N
s
i
n
c
o
m
a
10
k
N = \\frac{\\text{N sin coma}}{10^{k}}
N
=
f
r
a
c
t
e
x
t
N
s
in
co
ma
1
0
k
Caso 2 - Periódico puro:
Período sobre tantos 9 como cifras tenga el período.
0
,
w
i
d
e
h
a
t
27
=
f
r
a
c
2799
=
f
r
a
c
311
0,\\widehat{27} = \\frac{27}{99} = \\frac{3}{11}
0
,
w
i
d
e
ha
t
27
=
f
r
a
c
27
99
=
f
r
a
c
3
11
Regla:
0
,
w
i
d
e
h
a
t
a
b
c
=
f
r
a
c
a
b
c
999
0,\\widehat{abc} = \\frac{abc}{999}
0
,
w
i
d
e
ha
t
ab
c
=
f
r
a
c
ab
c
999
Caso 3 - Periódico mixto:
N
=
f
r
a
c
t
e
x
t
a
n
t
e
p
e
r
ı
ˊ
o
d
o
+
p
e
r
ı
ˊ
o
d
o
−
t
e
x
t
a
n
t
e
p
e
r
ı
ˊ
o
d
o
t
e
x
t
t
a
n
t
o
s
9
c
o
m
o
c
i
f
r
a
s
d
e
l
p
e
r
ı
ˊ
o
d
o
s
e
g
u
i
d
o
s
d
e
t
a
n
t
o
s
0
c
o
m
o
c
i
f
r
a
s
d
e
l
a
n
t
e
p
e
r
ı
ˊ
o
d
o
N = \\frac{\\text{anteperíodo + período} - \\text{anteperíodo}}{\\text{tantos 9 como cifras del período seguidos de tantos 0 como cifras del anteperíodo}}
N
=
f
r
a
c
t
e
x
t
an
t
e
p
er
ı
ˊ
o
d
o
+
p
er
ı
ˊ
o
d
o
−
t
e
x
t
Ej:
0
,
2
w
i
d
e
h
a
t
3
=
f
r
a
c
23
−
2
90
=
f
r
a
c
2190
=
f
r
a
c
730
0,2\\widehat{3} = \\frac{23-2}{90} = \\frac{21}{90} = \\frac{7}{30}
0
,
2
w
i
d
e
ha
t
3
=
f
r
a
c
23
−
2
90
=
f
r
an
t
e
p
er
ı
ˊ
o
d
o
t
e
x
t
t
an
t
os
9
co
m
oc
i
f
r
a
s
d
e
l
p
er
ı
ˊ
o
d
ose
g
u
i
d
os
d
e
t
an
t
os
0
co
m
oc
i
f
r
a
s
d
e
l
an
t
e
p
er
ı
ˊ
o
d
o
a
c
21
90
=
f
r
a
c
7
30
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