Análisis Combinatorio y Probabilidades

1. Idea Central

• El análisis combinatorio estudia cómo contar agrupaciones y ordenamientos sin enumerarlos uno por uno.
• Es la base para calcular probabilidades.

2. Principios Fundamentales de Conteo

Principio de Multiplicación

• Si A ocurre de $m$ formas y B de $n$ formas por cada una de A:
• Total = $m \times n$
• Ej: 3 pantalones x 4 polos = 12 vestimentas.

Principio de Adición

• Si A ocurre de $m$ formas y B de $n$ formas y no pueden ocurrir a la vez:
• Total = $m + n$

3. Factorial

• $n! = n \times (n-1) \times ... \times 2 \times 1$
• Por convenio: $0! = 1$

4. Técnicas sin Repetición

• Con $n$ elementos diferentes, se forman grupos de $k$:

• Permutación $P_n$:

  • Importa el orden, se usan los $n$.
  • $$

Clave para diferenciar:

• ¿Importa el orden? Sí -> Permutación o Variación. No -> Combinación.
• ¿Se usan todos? Sí -> Permutación. No -> Variación.

5. Técnicas con Repetición

• Permutación con repetición:
  • $P_n^{a,b,...} = n! / (a! \cdot b! \cdot ...)$

6. Fundamentos de Probabilidad

• Experimento aleatorio: resultado no predecible. Ej: lanzar dado.
• Espacio muestral $\Omega$: todos los resultados posibles. Ej: dado $\Omega = {1,2,3,4,5,6}$.
• Evento A: subconjunto de $\Omega$.

Regla de Laplace

• Si todos los resultados son equiprobables:
• $P(A) = n(A) / n(\Omega)$ = casos favorables / casos posibles.

Propiedades clave:

• $0 \le P(A) \le 1$
• $P(\Omega) = 1$, $P(\emptyset) = 0$

7. Operaciones con Eventos

• Unión general: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

8. Probabilidad Condicional e Independencia

• Condicional:
  • $P(A|B) = P(A \cap B) / P(B)$
  • Es la probabilidad de A sabiendo que ocurrió B.
• Independientes:
  • Uno no afecta al otro.
  • $P(A\cap B)=P(A)\times P$