Generatriz de una Expresión Decimal

1. Definición: ¿Qué es la fracción generatriz?

• La fracción generatriz es la fracción irreductible f = a / b que al dividir a ÷ b origina un determinado número decimal.
• Idea clave:
  • Todo decimal exacto o periódico es racional → SÍ tiene generatriz.
  • Todo decimal inexacto no periódico (ej. π = 3,14159... , √2 = 1,4142...) es irracional → NO tiene generatriz.
  • El resultado final siempre debe simplificarse hasta ser irreductible.

2. Tipos de expresión decimal

• Decimal exacto: Tiene un número limitado de cifras decimales.
  • Ej.: 0,25 ; 1,375
• Periódico puro: El periodo (cifras que se repiten) empieza justo después de la coma.
  • Ej.: 0,^3 = 0,333... ; 1,^27 = 1,2727...
• Periódico mixto: Tiene una parte no periódica antes del periodo.
  • Ej.: 0,16^6 = 0,1666... ; 2,45^7 = 2,45777...

3. Reglas para hallar la generatriz

Caso 1: Decimal exacto

• Regla: Numerador = número sin coma. Denominador = 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales.
• Fórmula: N = (número sin la coma) / (1000...0)
• Ejemplos:
  • 0,25 = 25/100 = 1/4
  • 1,375 = 1375/1000 = 11/8
  • 0,6 = 6/10 = 3/5

Caso 2: Decimal periódico puro

• Regla: Numerador = número sin coma menos la parte entera. Denominador = tantos 9 como cifras tenga el periodo.
• Fórmula: E,^P = (EP - E) / (99...9)
• Ejemplos:
  • 0,^3 = (3-0)/9 = 3/9 = 1/3
  • 0,^27 = (27-0)/99 = 27/99 = 3/11
  • 2,^5 = (25-2)/9 = 23/9
  • 1,^123 = (1123-1)/999 = 1122/999 = 374/333

Caso 3: Decimal periódico mixto

• Regla: Numerador = número sin coma hasta el fin del primer periodo menos la parte no periódica (entera + cifras no periódicas). Denominador = tantos 9 como cifras del periodo, seguidos de tantos 0 como cifras no periódicas.
• Fórmula: E,A^P = (EAP - EA) / (99...900...0)
• Ejemplos:
  • 0,16^6 = (166-16)/900 = 150/900 = 1/6
  • 0,4^5 = (45-4)/90 = 41/90
  • 2,45^7 = (2457-245)/900 = 2212/900 = 553/225

4. Resumen práctico para memorizar

• Exacto: denominador 1000...0
• Puro: denominador 999...9
• Mixto: denominador 999...9000...0
• En todos los casos: simplificar hasta la fracción irreductible.

5. Error frecuente que debes evitar

• No confundir dónde empieza la repetición:
  • 0,^25 = 0,2525... = 25/99
  • 0,2^5 = 0,2555... = (25-2)/90 = 23/90
• La posición del periodo cambia totalmente la generatriz. ¡Identifica primero si es exacto, puro o mixto!