Números Racionales

1. Definición

• Un número racional es todo número que puede expresarse como cociente de dos enteros, con divisor diferente de cero:

$$\mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \; / \; a \in \mathbb{Z}, \; b \in \mathbb{Z}, \; b \neq 0 \right\}$$

• Numerador: $a$
• Denominador: $b \neq 0$ (la división entre 0 no está definida)
• Todo entero es racional: $5 = \frac{5}{1}$,

$$\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$$

2. Fracciones Equivalentes y Fracción Irreductible

• Fracciones equivalentes: representan el mismo valor:

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c$$

• Ejemplo: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ porque $$

3. Representación Decimal

• Todo racional tiene decimal exacto o periódico:
  • Decimal exacto: $\frac{3}{4} = 0.75$
  • Periódico puro: $\frac{1}{3} = 0.\widehat{3}$

4. Representación en la Recta Numérica

• Densidad de Q: entre dos racionales distintos siempre existe otro racional.
• Si $x < y$, entonces $z = \frac{x+y}{2}$ es racional y cumple .

5. Operaciones y Propiedades Fundamentales

• Suma y resta:

$$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d \pm b \cdot c}{b \cdot d}$$

• Multiplicación:

$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$$

• División (divisor no nulo):

$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$$

• Propiedades clave:
  • Clausura: suma, resta, multiplicación y división (con divisor no nulo) dan otro racional.
  • Neutros: $0$ para la suma, $1$ para la multiplicación.
  • Opuesto e inverso: todo $q$ tiene opuesto $-q$; si $q \neq 0$ tiene inverso .