Binomio de Newton

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Objetivo: Desarrollar cualquier potencia entera no negativa de un binomio $(a+b)^n$ de forma directa, sin multiplicación reiterada.

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1. Coeficiente Binomial

Para $n \ge k \ge 0$ enteros:

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

• Indica de cuántas formas se pueden elegir $k$ elementos de un total de $n$.
• $n! = n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1$ y .

Propiedades fundamentales:

• Simetría: $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$

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2. Teorema del Binomio de Newton

Para $a, b$ reales y $n$ entero no negativo:

$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}$$

En forma desarrollada:

$$(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \dots + \binom{n}{n}b^n$$

Lectura del desarrollo:

• Tiene $n+1$ términos.
• En cada término, la suma de exponentes de $a$ y $b$ es siempre $n$.
• El exponente de $a$ disminuye de $n$ a ; el de de a .

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3. Triángulo de Pascal

Permite obtener los coeficientes $\binom{n}{k}$ sin calcular factoriales: cada número es la suma de los dos superiores.

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4. Término General

El término de lugar $k+1$ (sin desarrollar todo el binomio):

$$T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}, \quad k = 0, 1, 2, \dots, n$$

• $T_1$ corresponde a $k=0$; $T_2$ a , etc.

Caso $(a-b)^n$: tomar $b$ como $(-b)$, con signos alternados $+, -, +, -, \dots$:

$$(a-b)^n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}$$

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5. Propiedades Clave para Problemas Preuniversitarios

• Suma de coeficientes ($a=1, b=1$): $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$.

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6. Ejemplo Resuelto

Hallar el tercer término de $(x+2)^5$.

Con $n=5$, $a=x$, $b=2$; buscamos $T_3$, entonces :

$$T_3 = \binom{5}{2} x^{5-2} 2^{2} = 10 \cdot x^3 \cdot 4 = 40x^3$$

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Conclusión

El Binomio de Newton transforma una potencia en una suma ordenada y predecible, gobernada por los coeficientes binomiales.