MCD y MCM

1. Conceptos previos

• Divisor: $d$ es divisor de $a$ si $a = d \times k$. Se denota $d | a$.
• Múltiplo: $m$ es múltiplo de $a$ si $m = a \times k$.
• Descomposición canónica: todo entero mayor que 1 se escribe de forma única como producto de potencias de primos:

$$a = p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} ... p_{n}^{a_{n}}, \quad b = p_{1}^{b_{1}} p_{2}^{b_{2}} ... p_{n}^{b_{n}}$$

2. Máximo Común Divisor (MCD)

• Es el mayor entero positivo que divide a todos los números simultáneamente.
• Regla: tomar solo los factores primos comunes con el menor exponente:

$$MCD(a,b) = p_{1}^{min(a_{1},b_{1})} p_{2}^{min(a_{2},b_{2})} ...$$

• Ejemplo: $12 = 2^{2} \times 3$, $18 = 2 \times 3^{2}$ →

3. Mínimo Común Múltiplo (MCM)

• Es el menor entero positivo múltiplo de todos los números simultáneamente.
• Regla: tomar todos los factores primos (comunes y no comunes) con el mayor exponente:

$$MCM(a,b) = p_{1}^{max(a_{1},b_{1})} p_{2}^{max(a_{2},b_{2})} ...$$

• Ejemplo: $MCM(12,18) = 2^{2} \times 3^{2} = 36$

4. Método práctico (simultáneo)

• Dividir los números por primos hasta llegar a 1:
  • MCD = producto de los divisores comunes (columna izquierda).
  • MCM = producto de todos los divisores.

5. Propiedades fundamentales

• Relación principal: $MCD(a,b) \times MCM(a,b) = a \times b$
• Si $MCD(a$, los números son y .

Idea clave para recordar

MCD: comunes con menor exponente. MCM: todos con mayor exponente. Y siempre: $MCD \times MCM = a \times b$.