Lógica y Teoría de Conjuntos

1. Lógica Proposicional

Proposición

Enunciado con un único valor de verdad: verdadero (V) o falso (F), nunca ambos.

• Son proposiciones: "4 es par", "Lima es capital del Perú".
• No son proposiciones: preguntas, órdenes, exclamaciones o frases con variable indefinida como $x > 5$.

Conectivos lógicos

Reglas clave de la tabla de verdad:

• $p \land q$ es verdadera solo si ambas son verdaderas.
• $p \lor q$ es falsa solo si ambas son falsas.
• $p \rightarrow q$ es falsa solo cuando $p$ es y es .

Tautología, contradicción y contingencia

• Tautología: siempre $V$ (ej.: $p \lor \sim p$).
• Contradicción: siempre $F$ (ej.: $p \land \sim p$).
• Contingencia: toma valores $$ y (ej.: ).

Leyes lógicas fundamentales

• Doble negación: $\sim(\sim p) \equiv p$
• De Morgan: $\sim(p \land q) \equiv \sim p \lor \sim q$;

Cuantificadores

• Universal: $\forall x \in U: P(x)$ — "para todo $x$ se cumple $P(x)$".
• Existencial: $\mathrm{\exists }x\in U:P$ — "existe tal que se cumple ".

Su negación intercambia el cuantificador:

$$\sim(\forall x: P(x)) \equiv \exists x: \sim P(x) \qquad \sim(\exists x: P(x)) \equiv \forall x: \sim P(x)$$

2. Teoría de Conjuntos

Noción y determinación

Un conjunto es una colección bien definida de objetos llamados elementos ($x \in A$ o $x \notin A$). Se determina por:

• Extensión: listando elementos. Ej.: $A = \{1, 3, 5, 7\}$.
• Comprensión: por una propiedad. Ej.: $A = \{x \mid x \text{ es impar y } 0 < x < 8\}$.

Conjuntos notables:

• Vacío: $\varnothing$, sin elementos.
• Unitario: un solo elemento.
• Universal: $U$, contiene todos los conjuntos en estudio.
• Potencia: $P(A) = \{X \mid X \subseteq A\}$; si , entonces .

Relaciones entre conjuntos

• Inclusión: $A \subseteq B \iff \forall x: (x \in A \rightarrow x \in B)$
• Igualdad:

Operaciones entre conjuntos

Propiedades inmediatas: $A \cup \varnothing = A$; $A \cap \varnothing = \varnothing$; $A \cup U = U$; ; ; ; .

Leyes del álgebra de conjuntos

• Idempotencia: $A \cup A = A$, $A \cap A = A$
• Conmutativa: $A \cup B = B \cup A$,

Paralelismo clave: $\cup$ actúa como $\lor$, $\cap$ como $\land$ y el complemento como $\sim$.

Cardinal de un conjunto

El cardinal $n(A)$ es el número de elementos de $A$:

• Si $A$ y $B$ son disjuntos: $n(A \cup B) = n(A) + n(B)$

$$n(A \cup B \cup C) = n(A)+n(B)+n(C)-n(A \cap B)-n(A \cap C)-n(B \cap C)+n(A \cap B \cap C)$$

Ideas clave para recordar

1. El condicional solo es falso cuando el antecedente es $V$ y el consecuente es $F$.
2. De Morgan aparece en lógica y en conjuntos con la misma estructura.
3. La negación de un cuantificador intercambia $\forall$ por $\exists$.
4. El conjunto potencia de un conjunto de $n$ elementos tiene $2^n$ elementos.