Sistemas de Ecuaciones Lineales con Dos Variables

1. Definición

Un sistema de ecuaciones lineales con dos variables es un conjunto de dos ecuaciones de primer grado con las mismas incógnitas $x$ e $y$, que deben satisfacerse simultáneamente.

Su forma general es:

$$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$$

• $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ son números reales.

2. Interpretación geométrica

Cada ecuación representa una recta en el plano cartesiano; resolver el sistema equivale a hallar los puntos de intersección de dos rectas. Solo hay tres posibilidades:

• Rectas secantes: se cortan en un punto.
• Rectas coincidentes: son la misma recta.
• Rectas paralelas no coincidentes: no se cortan.

3. Clasificación según sus soluciones

Determinante del sistema: $D = a_1 b_2 - a_2 b_1$

• Si $D \neq 0$: sistema compatible determinado.
• Si $D = 0$: sistema indeterminado o incompatible (comparar los términos independientes $c_1, c_2$).

4. Métodos de resolución

a) Gráfico

Se grafican ambas rectas y se observa su intersección. Útil para visualizar, poco preciso si la solución no es entera.

b) Sustitución

1. Despejar una variable en una ecuación.
2. Sustituir en la otra ecuación y resolver.
3. Reemplazar el valor hallado para obtener la otra variable.

Ejemplo: de $x + y = 5$ se despeja $x = 5 - y$ y se sustituye en la segunda ecuación.

c) Igualación

1. Despejar la misma variable en ambas ecuaciones.
2. Igualar las expresiones: si $x = 5 - y$ y $x = 2y - 1$, entonces $5 - y = 2y - 1$.

d) Reducción o eliminación

1. Multiplicar las ecuaciones por números convenientes para que los coeficientes de una variable sean opuestos.
2. Sumar ambas ecuaciones para eliminar esa variable.
3. Resolver y sustituir.

Ejemplo:

$$\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 2x - y = 3 \end{cases}$$

Restando se elimina $x$: $4y = 4 \Rightarrow y = 1$ y $x = 2$.

5. Ideas clave para recordar

• Un sistema $2 \times 2$ solo puede tener 0, 1 o infinitas soluciones.
• La condición $D = 0$ no garantiza que no haya solución; hay que comparar con $c_1$ y ${}_{}$.