Divisibilidad en los Números Enteros (Z)

1. Definición formal

Sean $a, b \in \mathbb{Z}$ con $a \neq 0$. Se dice que $a$ divide a $b$ (notado $a \mid b$) si existe $k \in \mathbb{Z}$ tal que:

$$b = a \cdot k$$

• $a$ es el divisor (o factor) de $b$.
• $b$ es el múltiplo de $a$.
• $k$ es el cociente exacto.

Ejemplos:

• $3 \mid 12$ porque $12 = 3 \cdot 4$.
• $-5 \mid 20$ porque $20=(-5)($.

Casos especiales

• Todo entero $a \neq 0$ divide a $0$: $a \mid 0$ (pues $0 = a \cdot 0$).

2. Propiedades fundamentales

Para $a, b, c \in \mathbb{Z}$ no nulos:

1. Reflexividad: $a \mid a$.
2. Transitividad: $a \mid b$ y $b \mid c \Rightarrow a \mid c$. Ej.: y .

3. Divisores positivos y división euclidiana

Para $n > 0$, el conjunto de divisores positivos de $n$ es finito. Ejemplo: los divisores de $12$ son $1, 2, 3, 4, 6, 12$.

Relación con la división euclidiana:

$$b = a \cdot q + r, \quad 0 \leq r < |a| \Rightarrow a \mid b \iff r = 0$$

Es decir, $a \mid b$ si y solo si el residuo de dividir $b$ entre $a$ es $0$.

4. Criterios de divisibilidad

Reglas prácticas para decidir divisibilidad sin efectuar la división completa:

5. Ideas clave para el nivel preuniversitario

• La divisibilidad solo tiene sentido con divisor distinto de cero.
• $a \mid b$ no es una fracción: es una afirmación lógica, verdadera o falsa.
• Todo problema de divisibilidad se reduce a hallar el entero $k$ tal que $b = a \cdot k$.
• Dominar criterios y propiedades permite factorizar, simplificar fracciones y abordar MCD, MCM y congruencias.