Números Compuestos

Definición

Un número compuesto es un número entero positivo $n > 1$ que no es primo, es decir, tiene más de dos divisores positivos: el 1, sí mismo y al menos otro más. Formalmente, existen $a, b$ con $1 < a < n$ y $1 < b < n$ tales que $n = a \cdot b$.

• Equivalencia: $n$ es compuesto si y solo si su número de divisores $\tau(n) > 2$.
• El 1 no es compuesto (ni primo): es un caso especial.

Ejemplos

• $6 = 2 \cdot 3$ → divisores: 1, 2, 3, 6 → compuesto
• $12 = 3 \cdot 4$ → divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 12 → compuesto
• $2, 3, 5, 7$ → primos,

Propiedades fundamentales

1. Descomposición en factores primos (Teorema Fundamental de la Aritmética): todo compuesto se expresa de manera única (salvo el orden) como producto de primos.

   • Ejemplo: $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$

2. Número de divisores: si $n=p_1^{{}_{}}$, entonces:

$$\tau(n) = (\alpha_1 + 1)(\alpha_2 + 1)\cdots(\alpha_k + 1)$$

Para un compuesto siempre resulta $\tau(n) > 2$.

1. Criterio de identificación: $n > 1$ es compuesto si tiene un divisor primo $p \leq \sqrt{n}$.

¿Cómo saber si un número es compuesto?

1. Probar divisibilidad por todos los primos $p \leq \sqrt{n}$.
2. Si alguno divide a $n$ → compuesto; si ninguno → primo.

Ejemplos:

• $n = 97$: $\sqrt{97} \approx 9.8$; se prueban 2, 3, 5, 7 → ninguno divide → primo.
• $$: ; el 7 divide () → .

Tabla de clasificación (primeros números)

Conceptos clave para recordar

• Todo entero $> 1$ es primo o compuesto, pero no ambos.
• Los compuestos son el complemento de los primos en $\mathbb{Z}^+ \setminus \{1\}$.
• La criba de Eratóstenes permite listar primos y, por exclusión, identificar compuestos.
• Aplicaciones: factorización, MCD y mcm, ecuaciones diofánticas y criptografía (RSA).

Resumen final

• Un compuesto tiene más de dos divisores.
• Se factoriza de forma única en primos.
• Basta buscar un divisor primo $\leq \sqrt{n}$ para comprobarlo.
• No confundir con primos (exactamente dos divisores) ni con el 1 (ni primo ni compuesto).