Polinomios con coeficientes en ℝ, ℚ o ℤ

1. Definición

Un polinomio en una variable con coeficientes en un conjunto $K$ es:

$$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0, \quad a_i \in K$$

• $x$: indeterminada o variable.
• $n$: grado (entero no negativo), si $a_n \neq 0$.
• $$: ; : .

La notación indica el conjunto de los coeficientes:

• $\mathbb{Z}[x]$: coeficientes enteros.
• $\mathbb{Q}[x]$: coeficientes racionales.
• $\mathbb{R}[x]$: coeficientes reales.

Ejemplos:

• $P(x) = 2x^3 - 5x + 1 \in \mathbb{Z}[x]$ (también en $\mathbb{Q}$ y ).

2. Inclusión entre los conjuntos

$$\mathbb{Z}[x] \subset \mathbb{Q}[x] \subset \mathbb{R}[x]$$

Restringir los coeficientes restringe el conjunto de polinomios disponibles.

3. Operaciones y cerradura

Si $P(x), Q(x)$ tienen coeficientes en el mismo conjunto $K$:

• Suma y resta: cerradas en $\mathbb{Z}[x]$, $\mathbb{Q}[x]$ y $\mathbb{R}[x]$.
• Producto: cerrado en los tres conjuntos.
• División:
  • En $\mathbb{Q}[x]$ y existe la : dados y , existen únicos (cociente) y (resto) en el mismo conjunto con .

Por eso $\mathbb{Q}[x]$ y $\mathbb{R}[x]$ se comportan mejor para factorizar y hallar raíces.

4. Raíces según el conjunto de coeficientes

• Teorema de la raíz racional: un polinomio en $\mathbb{Z}[x]$ solo puede tener como raíces racionales fracciones $\frac{p}{q}$ donde $p$ divide a $$ y divide a .

💡 Idea clave para el examen

El conjunto de coeficientes no decide dónde están las raíces, sino qué operaciones puedes hacer sin salirte del conjunto:

• Para buscar raíces enteras o racionales → trabaja en $\mathbb{Z}[x]$.
• Para garantizar división exacta y factorización completa → piensa en $\mathbb{Q}[x]$ o $\mathbb{R}[x]$.