Trayectorias: Caminos Mínimos y Conteo de Rutas

1. Concepto clave

Una trayectoria es el camino o recorrido que sigue un punto móvil (hormiga, mosca, persona) desde un punto inicial $A$ hasta un punto final $B$, desplazándose sobre una superficie o red de líneas. No importa la velocidad ni el tiempo, solo la forma y la longitud del recorrido.

Dos problemas clásicos:

• Trayectoria mínima: hallar el camino más corto entre $A$ y $B$.
• Conteo de trayectorias: hallar cuántos caminos diferentes existen siguiendo reglas dadas.

2. Principio fundamental: el desarrollo plano

La distancia más corta entre dos puntos es la línea recta, pero solo en el plano.

Si $A$ y $B$ están sobre un sólido, el móvil debe ir pegado a la superficie. El método es:

1. Desarrollar (desplegar) las caras involucradas sobre un mismo plano.
2. Unir $A$ y $B$ con un segmento recto en el desarrollo.
3. Al volver a doblar el sólido, esa recta es la trayectoria mínima.

3. Trayectorias mínimas en sólidos comunes

A) Paralelepípedo o cubo

Se desarrollan dos caras adyacentes como un rectángulo de lados $a$ y $b$:

$$d_{min} = \sqrt{a^2 + b^2}$$

⚠️ Si hay varios desarrollos posibles (hasta 3 en el cubo), se calculan todos y se elige el menor.

B) Cilindro

Se desarrolla la superficie lateral como un rectángulo: base $= 2\pi R$ (perímetro), altura $= H$. Si $B$ está diametralmente opuesto a $A$, solo se recorre media vuelta ($\pi R$):

$$d_{min} = \sqrt{(\pi R)^2 + H^2}$$

C) Solo por aristas (alambre)

Si el móvil solo camina por las aristas, la mínima es la suma de las aristas más cortas que conectan $A$ con $B$. No se usa Pitágoras, solo suma.

4. Conteo de trayectorias en retículas

En una cuadrícula donde solo se permite avanzar hacia la derecha ($D$) y hacia arriba ($U$), sin retroceder:

• Si se necesitan $m$ pasos a la derecha y $n$ hacia arriba, hay $m+n$ pasos en total.
• El número de trayectorias mínimas es una permutación con repetición:

$$N = \frac{(m+n)!}{m! \cdot n!}$$

Ejemplo: cuadrícula $2 \times 2$: $N = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = 6$.

5. Tabla de estrategias

6. Errores frecuentes

• ❌ Unir $A$ y $B$ por dentro del sólido: el recorrido debe ser exterior.
• ❌ Probar un solo desarrollo: en el cubo hay hasta 3 desarrollos distintos.
• ❌ Contar trayectorias con retroceso: todo paso atrás aumenta la longitud.
• ❌ Confundir $d_{min}$ en superficie con arista: $\sqrt{a^2+b^2} < a+b$ siempre.

💡 Idea final

Toda trayectoria mínima se vuelve una línea recta si miras la superficie desde el desarrollo correcto.