Series de Razones Geométricas Iguales

1. Definición

Una serie de razones geométricas iguales es un conjunto de dos o más razones geométricas que tienen el mismo valor:

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \dots = k$$

• $a, c, e, \dots$: antecedentes (numeradores).
• $b, d, f, \dots$: consecuentes (denominadores, siempre $\neq 0$).

En forma general, para $n$ razones:

$$\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \dots = \frac{a_n}{b_n} = k, \quad b_i \neq 0$$

2. Constante de proporcionalidad

Cada antecedente es proporcional a su consecuente:

$$a_i = k \cdot b_i \quad \Rightarrow \quad a = kb,\; c = kd,\; e = kf$$

Esta relación es la base para resolver y demostrar todas las propiedades.

3. Propiedades fundamentales

Propiedad 1: Suma de antecedentes entre suma de consecuentes

$$\frac{a + c + e}{b + d + f} = k \quad \text{(si } b+d+f \neq 0\text{)}$$

Propiedad 2: Combinación lineal

Con $m_1, m_2, m_3$ reales cualesquiera:

$$\frac{m_1 a + m_2 c + m_3 e}{m_1 b + m_2 d + m_3 f} = k$$

Incluye sumas y restas, por ejemplo: $\dfrac{a + c - e}{b + d - f} = k$.

Propiedad 3: Producto de razones

El producto de las $n$ razones es igual a $k^n$:

$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f} = k^3 \quad \Rightarrow \quad \frac{a_1 a_2 \cdots a_n}{b_1 b_2 \cdots b_n} = k^n$$

Propiedad 4: Potencias y raíces

Elevando antecedentes y consecuentes a una misma potencia $m$:

$$\frac{a^m}{b^m} = \frac{c^m}{d^m} = \frac{e^m}{f^m} = k^m \quad \Rightarrow \quad \frac{a^m + c^m + e^m}{b^m + d^m + f^m} = k^m$$

4. Ideas clave para resolver problemas

• Despejar en función de $k$: escribir $a = kb$, $c = kd$, $e = kf$ y reemplazar en la expresión dada.

5. Resumen final

• Una serie es una igualdad $\dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2} = \dots = k$.