Sumatorias

1. Definición

La sumatoria es la notación abreviada para indicar la suma de una sucesión de términos, representada con la letra griega sigma mayúscula $\sum$:

$$\sum_{k=m}^{n} a_k = a_m + a_{m+1} + \cdots + a_n$$

• $k$: índice de variación (toma valores enteros)
• $m$: límite inferior
• $n$: límite superior ($m \le n$)
• $a_k$: término general

Ejemplo: $\sum_{k=1}^{4} (2k+1) = 3+5+7+9 = 24$

2. Propiedades fundamentales

1. Suma de constante: $\sum_{k=1}^{n} c = n \cdot c$
2. Factor constante: ${\sum }_{k=1}^{n}c\cdot a_k=c\cdot {\sum }_{}^{}$

3. Sumas notables (¡memorizar!)

Casos particulares:

• Suma de los $n$ primeros pares: $\sum 2k = n(n+1)$
• Suma de los $n$ primeros impares: $\sum (2k-1) = n^2$

4. Sumatorias telescópicas

Si el término general se escribe como diferencia, casi todos los términos se cancelan:

$$\sum_{k=1}^{n} (a_{k+1} - a_k) = a_{n+1} - a_1$$

Clásico: $\dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}$, entonces:

$$\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k(k+1)} = 1 - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{n}{n+1}$$

5. Estrategia de resolución

1. Identifica el término general y los límites.
2. Descompón por linealidad hasta formas $\sum k$, $\sum k^2$, $\sum k^3$ o .

Ejemplo: $S = \sum_{k=1}^{n} (3k^2 + k) = 3 \cdot \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \dfrac{n(n+1)}{2} = n(n+1)^2$