Máximos y Mínimos

¿Qué son?

En razonamiento lógico matemático, los problemas de máximos y mínimos buscan el mejor o peor caso posible ante incertidumbre, no valores exactos:

• Mínimo para garantizar: menor cantidad de intentos que asegura al 100% el resultado deseado, pase lo que pase.
• Máximo para evitar: mayor cantidad de intentos que puede ocurrir sin que se cumpla la condición pedida.

Relación fundamental

$$\text{Mínimo para garantizar} = \text{Máximo para evitar} + 1$$

Se analiza todo lo que puede salir mal y luego se suma $1$ para forzar el éxito.

Principio del Peor Caso

Estrategia: suponer la peor situación posible (mala suerte total).

Pasos del método:

1. Identificar el objetivo (ej.: obtener 2 bolas del mismo color).
2. Construir el máximo que evita el objetivo.
3. Sumar 1: el siguiente elemento obliga a cumplirlo.

Fórmula clave

Para garantizar $k$ objetos de un mismo tipo entre $m$ tipos:

$$N_{min} = m \cdot (k-1) + 1$$

Ejemplo: garantizar 3 bolas del mismo color entre 4 colores:

$$N_{min} = 4 \cdot (3-1) + 1 = 9$$

Casos típicos

A. Bolas en urna

• Urna: 5 rojas, 4 azules, 3 verdes. ¿Mínimo para tener con seguridad 2 del mismo color?
• Máximo para evitar: $1+1+1 = 3$ → Mínimo: $3+1 = \boxed{4}$.

B. Cortes

• Número máximo de partes con $n$ cortes rectos:

$$N_{max} = \frac{n(n+1)}{2} + 1$$

• El mínimo de cortes para $P$ pedazos se busca por tanteo o potencias de 2 (si se puede apilar).

C. Pesadas con balanza

Para hallar la moneda distinta entre $N$ monedas con balanza de dos platillos:

• 1 pesada → hasta 3 monedas.
• 2 pesadas → hasta 9 monedas.
• $k$ pesadas → hasta $3^k$ monedas.

$$3^{k} \geq N \quad \Rightarrow \quad k = \text{número mínimo de pesadas}$$

Tabla resumen de estrategias

Errores frecuentes

• Confundir probable con garantizado: el mínimo para garantizar supone mala suerte total.
• Olvidar sumar 1 al máximo que evita el evento.
• No considerar todos los tipos: el peor caso incluye $k-1$ de cada tipo.
• Suponer orden favorable: en pesadas y ordenamientos, analizar siempre la rama más desfavorable.

Idea clave

No optimizamos con derivadas, optimizamos con el peor escenario: si aun en el peor caso se logra el objetivo, entonces está garantizado.