Números Enteros (ℤ)

1. Definición

Los números enteros extienden a los naturales incluyendo el cero y los opuestos negativos:

$$\mathbb{Z} = \{ \dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots \}$$

• Es un conjunto infinito en ambas direcciones: no tiene primer ni último elemento.
• Es discreto: entre dos enteros consecutivos no existe otro entero.
• Idea clave: en ℤ la resta queda cerrada; siempre se puede calcular $a - b$ y el resultado es entero (ej. $3 - 8 = -5$).

2. Clasificación

• $\mathbb{Z} = \mathbb{Z}^{-} \cup \{0\} \cup \mathbb{Z}^{+}$
• El cero no es positivo ni negativo; es el elemento neutro de la suma.

3. Recta Numérica

• El $0$ es el origen.
• Positivos a la derecha, negativos a la izquierda.
• Distancia entre enteros consecutivos: siempre $1$.
• Orden: es menor el número que está más a la izquierda (ej. $-5 < -2$).

4. Conceptos Fundamentales

Valor Absoluto

Distancia al $0$:

$$|a| = \begin{cases} a, & a \geq 0 \\ -a, & a < 0 \end{cases}$$

Ejemplos: $|5| = 5$, $|-5| = 5$, $|0| = 0$.

Opuesto

El opuesto de $a$ es $-a$, su simétrico respecto al $0$:

• Opuesto de $4$ es $-4$; opuesto de $-7$ es $7$.
• Se cumple $a + (-a) = 0$.

Comparación y Orden

• Todo positivo es mayor que todo negativo.
• Entre negativos, es mayor el de menor valor absoluto: $-3 > -5$.
• Tricotomía: para $a, b \in \mathbb{Z}$, una y solo una de estas se cumple: $a < b$, $$, .

5. Puntos Clave para Recordar

• ℤ cierra la resta que era imposible en los naturales.
• El cero es único: ni positivo ni negativo.
• Valor absoluto = distancia al origen (siempre ≥ 0).
• En la recta: más a la izquierda ⇒ menor.