Sistemas de Medida Angular

Introducción

En trigonometría, un ángulo puede medirse con distintos sistemas de acuerdo con la unidad empleada. Los tres sistemas más importantes son: sexagesimal, centesimal y radial (radianes).

1. Sistema Sexagesimal

• Utiliza el grado sexagesimal (°) como unidad.
• Un ángulo completo (vuelta) mide 360°.
• Es un sistema no decimal, con subdivisiones:
  • 1° = 60 minutos (60′)
  • 1′ = 60 segundos (60″)

Transformaciones

• Grados → minutos: multiplicar por 60.
• Minutos → segundos: multiplicar por 60.
• Minutos → grados: dividir entre 60.

Ejemplo: 25° 30′ 36″ = 25° + 30/60° + 36/3600° = 25.51°

2. Sistema Centesimal

• Utiliza el grado centesimal (g) como unidad.
• Un ángulo completo mide 400g.
• Es un sistema decimal:
  • 1g = 100 minutos centesimales (m)
  • 1m = 100 segundos centesimales (s)

Ejemplo: 25g 40m 50s = 25.4050g

3. Sistema Radial (Radianes)

• Utiliza el radín (rad) como unidad.
• Un radín es la medida del ángulo central cuyo arco tiene la misma longitud que el radio.
• Un ángulo completo mide 2π rad.
• Es el sistema natural en matemáticas superiores (cálculo, física).

Fórmula: θ (rad) = arco / radio = s / r

Relación entre Sistemas

Una vuelta completa equivale a:

360° = 400g = 2π rad

De donde se deducen equivalencias clave:

Fórmulas de conversión

• Grados → radianes: multiplicar por π/180
• Radianes → grados: multiplicar por 180/π
• Grados → centesimales: multiplicar por 10/9
• Centesimales → grados: multiplicar por 9/10
• Radianes → centesimales: multiplicar por 200/π
• Centesimales → radianes: multiplicar por π/200

Conceptos Clave

• Grado sexagesimal (°): 1/360 de vuelta.
• Grado centesimal (g): 1/400 de vuelta.
• Radín (rad): ángulo central que subtiende un arco igual al radio.
• π rad = 180°: relación fundamental entre sistemas.
• La medida angular es invariante: el ángulo es el mismo, solo cambia la unidad.

Ejemplo Integrador

Convertir 120° a los otros sistemas:

• A centesimales: 120 × 10/9 = 400g/3 ≈ 133.33g
• A radianes: 120 × π/180 = 2π/3 rad