Ecuaciones de Primer Grado - Resumen 3

Resolución de ecuaciones con paréntesis y denominadores

Ecuaciones con paréntesis

Cuando la ecuación contiene paréntesis, se resuelve aplicando la propiedad distributiva:

• Ejemplo: 3(x - 2) = 2x + 4
• Paso 1: Distribuir → 3x - 6 = 2x + 4
• Paso 2: Agrupar términos → 3x - 2x = 4 + 6
• Paso 3: Resolver → x = 10

Regla del signo: si hay un signo negativo antes del paréntesis, todos los signos internos cambian:

• -2(x + 3) = -2x - 6

Ecuaciones con denominadores

Para eliminar denominadores se multiplica toda la ecuación por el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores:

• Ejemplo: x/2 + x/3 = 5
• mcm(2, 3) = 6 → 3x + 2x = 30
• 5x = 30 → x = 6

Pasos generales para resolver

1. Eliminar denominadores (multiplicar por el mcm).
2. Quitar paréntesis (propiedad distributiva).
3. Agrupar términos con x a un lado y constantes al otro.
4. Reducir términos semejantes.
5. Despejar x dividiendo entre su coeficiente.

Ecuaciones con solución especial

• Solución única: al despejar se obtiene un valor concreto, ej. x = 4.
• Infinitas soluciones (identidad): la variable desaparece y queda una igualdad verdadera, ej. 2(x+1) = 2x + 2 → 0 = 0.
• Sin solución: la variable desaparece y queda una igualdad falsa, ej. x + 3 = x + 5 → 3 = 5 (absurdo).

Conceptos clave

• Propiedad distributiva: a(b + c) = ab + ac
• mcm: herramienta para eliminar denominadores.
• Identidad: ecuación verdadera para todo valor de x.
• Ecuación absurda: ecuación sin solución.
• Comprobación: sustituir el valor obtenido en la ecuación original para verificar.

Errores comunes

• No multiplicar todos los términos por el mcm.
• Olvidar cambiar signos al eliminar un paréntesis precedido de signo negativo.
• No comprobar la solución final.

Ejercicio modelo

Resolver: (x - 1)/2 - (2x + 1)/3 = 1

1. mcm(2, 3) = 6 → 3(x - 1) - 2(2x + 1) = 6
2. Distribuir → 3x - 3 - 4x - 2 = 6
3. Reducir → -x - 5 = 6
4. Despejar → -x = 11 → x = -11

Comprobación: (-11 - 1)/2 - (2(-11) + 1)/3 = -6 - (-7) = 1 ✓