Ecuaciones de Primer Grado

Definición

Una ecuación de primer grado (o ecuación lineal) es aquella en la que la incógnita aparece elevada a la potencia 1. Su forma general es:

$$ax + b = 0$$

donde:

• a es el coeficiente de la incógnita (a ≠ 0)
• x es la incógnita
• b es el término independiente

Solución general

La solución única se obtiene despejando la incógnita:

$$x = \frac{-b}{a}$$

Propiedades fundamentales para resolver ecuaciones

1. Propiedad aditiva de la igualdad: se puede sumar o restar el mismo número en ambos miembros sin alterar la igualdad.
2. Propiedad multiplicativa de la igualdad: se puede multiplicar o dividir ambos miembros por el mismo número distinto de cero.
3. Transposición de términos: un término cambia de miembro de la ecuación realizando la operación inversa (el signo cambia si pasa sumando/restando).

Pasos para resolver una ecuación de primer grado

1. Quitar denominadores: multiplicar ambos miembros por el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores.
2. Quitar paréntesis: aplicar la propiedad distributiva.
3. Quitar corchetes y llaves si los hay (de adentro hacia afuera).
4. Agrupar términos: pasar los términos con x a un miembro y los números al otro.
5. Reducir términos semejantes.
6. Despejar la incógnita dividiendo entre su coeficiente.
7. Comprobar la solución sustituyendo en la ecuación original.

Ejemplo resuelto

Resolver: $\dfrac{x}{2} + 3 = 2x - 1$

1. Multiplicar por 2: $x + 6 = 4x - 2$
2. Transponer: $6 + 2 = 4x - x$
3. Reducir:

Clasificación según el número de soluciones

Conceptos clave

• Miembro: cada una de las dos expresiones separadas por el signo igual.
• Término independiente: término que no contiene la incógnita.
• Términos semejantes: términos con la misma parte literal, se pueden sumar o restar.
• Transposición: cambio de miembro con operación inversa.
• Solución (raíz): valor de la incógnita que hace verdadera la igualdad.
• Comprobación: verificación obligatoria de que la solución satisface la ecuación original.

Errores frecuentes

• Olvidar multiplicar todos los términos al eliminar denominadores.
• No cambiar el signo al transponer términos.
• No aplicar correctamente la propiedad distributiva con signos negativos: $-2(x+3) = -2x - 6$.
• Dividir solo un miembro de la ecuación en el paso final.

Aplicaciones

Las ecuaciones de primer grado se usan para modelar problemas verbales: edades, velocidades, mezclas, porcentajes y repartos, planteando la incógnita a partir de los datos del enunciado.