Ecuaciones de Primer Grado

1. Definición

Una ecuación de primer grado (o ecuación lineal) es una igualdad algebraica donde la incógnita aparece elevada a la potencia 1. Su forma general es:

ax + b = 0, con a ≠ 0

Su solución (raíz) es única: x = -b/a.

2. Elementos de una ecuación

• Miembros: expresiones a la izquierda y derecha de la igualdad.
• Términos: cada suma o resta dentro de un miembro.
• Incógnita: letra desconocida (usualmente x).
• Coeficiente: número que multiplica a la incógnita.
• Término independiente: constante sin incógnita.

3. Propiedades fundamentales

• Propiedad aditiva: se puede sumar o restar el mismo número en ambos miembros sin alterar la igualdad.
• Propiedad multiplicativa: se puede multiplicar o dividir ambos miembros por un mismo número distinto de cero.
• Transposición de términos: un término cambia de miembro invirtiendo su signo.

4. Pasos para resolver

1. Eliminar denominadores (multiplicar por el M.C.M.).
2. Quitar paréntesis (propiedad distributiva).
3. Agrupar términos con x en un miembro y constantes en el otro.
4. Reducir términos semejantes.
5. Despejar la incógnita dividiendo entre su coeficiente.

5. Ejemplo resuelto

Resolver: 3(x - 2) = x + 8

1. Distribuir: 3x - 6 = x + 8
2. Transponer: 3x - x = 8 + 6
3. Reducir: 2x = 14
4. Despejar: x = 7

Verificación: 3(7-2) = 15 y 7 + 8 = 15 ✔

6. Clasificación según el número de soluciones

• Ecuación determinada: una única solución (a ≠ 0).
• Ecuación indeterminada: infinitas soluciones (0 = 0).
• Ecuación imposible (contradicción): sin solución (0 = k, k ≠ 0).

7. Conceptos clave

• Igualdad condicionada
• Raíz o solución de la ecuación
• Transposición de términos
• Términos semejantes
• Propiedad distributiva
• M.C.M. para eliminar denominadores
• Comprobación de la solución