Identidades Trigonométricas por Cociente

¿Qué son?

Las identidades por cociente relacionan las funciones trigonométricas tangente y cotangente con las funciones fundamentales seno y coseno mediante divisiones.

Las dos identidades principales

1. Tangente como cociente

$$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

Válida siempre que $\cos\theta \neq 0$ (es decir, $\theta \neq 90° + k\cdot 180°$).

2. Cotangente como cociente

$$\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$

Válida siempre que $\sin\theta \neq 0$ (es decir, $\theta \neq k\cdot 180°$).

Demostración (con el triángulo rectángulo)

En un triángulo rectángulo con cateto opuesto $y$, cateto adyacente $x$ e hipotenusa $r$:

• $\sin\theta = \dfrac{y}{r}$ y $\cos\theta = \dfrac{x}{r}$

Relaciones recíprocas complementarias

$$\tan\theta = \frac{1}{\cot\theta} \qquad \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}$$

Ejemplo resuelto

Verificar la identidad: $\tan\theta \cdot \cos\theta = \sin\theta$

$$\tan\theta \cdot \cos\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \cdot \cos\theta = \sin\theta \;\checkmark$$

Puntos clave para recordar

• tan θ = sen θ / cos θ y cot θ = cos θ / sen θ: las identidades fundamentales por cociente.
• Verificar siempre las condiciones de existencia (denominador distinto de cero).
• Son esenciales para simplificar expresiones y demostrar identidades trigonométricas.
• Combinadas con la identidad pitagórica $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$, permiten resolver la mayoría de los ejercicios de verificación de identidades.

Errores comunes

• Confundir $\cot\theta$ con $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ (es al revés).
• Aplicar la identidad sin verificar que el coseno (o seno) no sea cero.
• Dividir entre $\tan\theta$ cuando podría ser cero o indefinido.