Razones Trigonométricas de 15°, 30°, 45°, 60° y 75°

Introducción

Las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.) de ángulos notables son valores exactos que conviene memorizar para resolver problemas de preuniversitario sin calculadora.

Ángulos de 30°, 45° y 60°

Se obtienen de triángulos rectángulos notables:

• Triángulo rectángulo isósceles (45°–45°–90°): catetos iguales, hipotenusa = cateto·√2.
• Triángulo equilátero dividido (30°–60°–90°): lados proporcionales a 1, √3 y 2.

Tabla de valores exactos

Regla mnemotécnica: para el seno de 30°, 45°, 60°, escribe √1/2, √2/2, √3/2; el coseno se obtiene invirtiendo el orden.

Ángulos de 15° y 75°

Se obtienen aplicando las fórmulas de suma y resta de ángulos:

• sen(15°) = sen(45° − 30°) = (√6 − √2)/4

• cos(15°) = cos(45° − 30°) = (√6 + √2)/4

• tan(15°) = 2 − √3

• sen(75°) = sen(45° + 30°) = (√6 + √2)/4

• cos(75°) = cos(45° + 30°) = (√6 − √2)/4

• tan(75°) = 2 + √3

Relaciones útiles

• sen(15°) = cos(75°) y cos(15°) = sen(75°) (ángulos complementarios).
• tan(15°)·tan(75°) = 1.
• tan(75°) − tan(15°) = 2√3.

Conceptos clave

1. Ángulos notables: 30°, 45° y 60° provienen de triángulos notables; 15° y 75° se deducen por suma y resta.
2. Valores exactos: evitan el uso de calculadora y permiten respuestas precisas.
3. Fórmulas fundamentales:
   • sen(α ± β) = senα·cosβ ± cosα·senβ
   • cos(α ± β) = cosα·cosβ ∓ senα·senβ
4. Ángulos complementarios: senθ = cos(90° − θ).

Conclusión

Dominar estos valores exactos es esencial para resolver ecuaciones trigonométricas, identidades y problemas de geometría con rapidez y precisión en el examen de admisión.