Razones trigonométricas de 15°, 30°, 45°, 60° y 75°

1. Introducción

Las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.) de ángulos notables como 30°, 45° y 60° se obtienen de triángulos rectángulos especiales, mientras que las de 15° y 75° se calculan mediante fórmulas de suma y resta de ángulos.

2. Ángulos de 30°, 45° y 60°

Provienen de:

• Triángulo equilátero (lados 1, 1, 1): al trazar una altura se obtiene un triángulo de 30°-60°-90° con lados 1, √3 y 2.
• Triángulo rectángulo isósceles (45°-45°-90°) con catelos iguales a 1 e hipotenusa √2.

Valores clave

3. Ángulos de 15° y 75°

Se obtienen con las fórmulas de resta y suma de ángulos:

• 15° = 45° − 30°
• 75° = 45° + 30°

Fórmulas empleadas

• sen(A ± B) = senA·cosB ± cosA·senB
• cos(A ± B) = cosA·cosB ∓ senA·senB

Valores clave

4. Relaciones útiles

• Complementariedad: sen(15°) = cos(75°) y sen(75°) = cos(15°).
• Identidad fundamental: sen²θ + cos²θ = 1.
• tan(15°)·tan(75°) = 1 (son ángulos complementarios).

5. Conceptos clave

• Memorizar la tabla de 30°, 45° y 60° mediante los triángulos notables.
• Derivar 15° y 75° con fórmulas de adición/sustracción.
• Usar la relación complementaria para reducir la memorización.
• Verificar resultados con la identidad pitagórica.