Suma de Matrices

La suma de matrices es una operación algebraica básica que permite combinar dos o más matrices del mismo orden para obtener una nueva matriz resultante.

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1. Condición de Conformabilidad

Para que dos matrices $A$ y $B$ puedan sumarse, es estrictamente necesario que tengan la misma dimensión (mismo número de filas y mismo número de columnas).

$$\text{Si } A \in \mathbb{R}^{m \times n} \text{ y } B \in \mathbb{R}^{m \times n} \implies (A + B) \in \mathbb{R}^{m \times n}$$

Nota: Si las matrices tienen órdenes distintos, la operación no está definida.

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2. Definición Formal

La adición se realiza elemento a elemento (posición por posición). Si $A = [a_{ij}]$ y $B = [b_{ij}]$, la matriz resultante se define como:

$$C = [c_{ij}] \quad \text{donde} \quad c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$$

Para todo $i = 1, 2, \dots, m$ y $j = 1, 2, \dots, n$.

Ejemplo Práctico:

Sean las matrices de orden $2 \times 2$:

$$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ -3 & 0 \end{pmatrix}$$ $$A + B = \begin{pmatrix} 3 + 2 & -1 + 7 \\ 4 + (-3) & 5 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$$

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3. Propiedades de la Suma de Matrices

Sean $A, B, C \in \mathbb{R}^{m \times n}$ y $O$ la matriz nula de orden $m \times n$:

• Clausura / Cerradura: $A + B \in \mathbb{R}^{m \times n}$
• Conmutativa: $A + B = B + A$

$$A + O = O + A = A$$

• Elemento Opuesto / Inverso Aditivo: Para cada matriz $A$, existe una matriz opuesta $-A = [-a_{ij}]$ tal que:

$$A + (-A) = (-A) + A = O$$

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4. Sustracción de Matrices

La resta se define formalmente como la suma de la primera matriz con el inverso aditivo de la segunda:

$$A - B = A + (-B)$$

Al igual que en la suma, se restan los elementos correspondientes posición por posición ($c_{ij} = a_{ij} - b_{ij}$).