Suma de Matrices

La suma de matrices es una operación algebraica fundamental que combina dos o más matrices para obtener una nueva matriz de la misma dimensión, sumando sus elementos correspondientes uno a uno.

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1. Condición de Compatibilidad

Para que dos matrices $A$ y $B$ puedan sumarse, deben ser del mismo orden o dimensión ($m \times n$).

• Si $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ y $B \in \mathbb{R}^{m \times n}$, entonces su suma existe y pertenece a .

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2. Definición Formal

Dadas $A = [a_{ij}]$ y $B = [b_{ij}]$ de orden , la matriz suma se define como:

$$c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$$

Para todo $1 \le i \le m$ y $1 \le j \le n$.

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3. Propiedades de la Suma de Matrices

Sean $A, B, C \in \mathbb{R}^{m \times n}$ y $O$ la matriz nula de orden $m \times n$:

• Clausura / Cerradura: $A + B \in \mathbb{R}^{m \times n}$.
• Conmutativa: $A + B = B + A$.

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4. Ejemplo Práctico

Sean las matrices de orden $2 \times 3$:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 0 & 3 & -5 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -3 & 5 & 1 \\ 4 & -2 & 7 \end{pmatrix}$$

Calculamos $A + B$ sumando componente a componente:

$$A + B = \begin{pmatrix} 2 + (-3) & -1 + 5 & 4 + 1 \\ 0 + 4 & 3 + (-2) & -5 + 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 4 & 5 \\ 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$

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5. Puntos Clave para Exámenes Preuniversitarios

• Diferencia de matrices: Se define a partir de la suma como $A - B = A + (-B)$.
• Ecuaciones matriciales simples: Para despejar $X$ en $A + X = B$, se suma el opuesto de a ambos lados: .