La Recta Numérica

La recta numérica es una construcción geométrica unidimensional que permite representar de forma ordenada, visual y unívoca a todos los elementos del conjunto de los números reales ($\mathbb{R}$).

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1. Postulado de Completitud y Correspondencia Biunívoca

• Correspondencia Biunívoca (1 a 1): A cada número real le corresponde exactamente un único punto en la recta, y a cada punto de la recta le corresponde un único número real.
• Completitud: La recta numérica es continua y no posee "huecos" o vacíos; los números racionales ($\mathbb{Q}$) y los irracionales ($\mathbb{I}$) cubren la totalidad de la recta.

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2. Elementos Fundamentales de la Recta Numérica

• Origen ($0$): Punto de referencia neutral que divide la recta en dos semirrectas o sentidos.
• Sentido Positivo: Por convención, se extiende hacia la derecha del origen ($+\infty$).
• Sentido Negativo: Por convención, se extiende hacia la izquierda del origen ($-\infty$).
• Unidad de Escala: Segmento de longitud constante utilizado para graduar la distancia uniforme entre números enteros consecutivos.

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3. Relación de Orden en la Recta

Para cualesquiera dos puntos con coordenadas $a$ y $b$ sobre la recta numérica:

• Menor que ($a < b$): El punto $a$ se ubica estrictamente a la izquierda del punto $b$.
• Mayor que ($a > b$): El punto $a$ se ubica estrictamente a la del punto .

$$a < b \quad \lor \quad a = b \quad \lor \quad a > b$$

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4. Conceptos Métricos en la Recta Numérica

A. Distancia entre dos puntos

La distancia geométrica entre dos puntos con coordenadas $a$ y $b$ es siempre no negativa y se define mediante el valor absoluto de su diferencia:

$$d(a, b) = |a - b| = |b - a|$$

B. Valor Absoluto (Interpretación Geométrica)

El valor absoluto $|x|$ representa la distancia euclidiana del punto $x$ al origen ($0$):

$$|x| = d(x, 0) = \sqrt{x^2}$$

C. Punto Medio ($M$)

La coordenada del punto medio entre dos puntos $a$ y $b$ corresponde al promedio aritmético de sus posiciones:

$$M = \frac{a + b}{2}$$

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5. Representación de Subconjuntos: Intervalos

Los intervalos son segmentos continuos de la recta numérica: