La Recta Numérica

La recta numérica (o recta real) es una construcción geométrica unidimensional que permite visualizar y ordenar el conjunto de los números reales ($\mathbb{R}$). Establece una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre los puntos de una recta geométrica y los números reales.

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1. Estructura Fundamental

• Origen ($0$): Punto de referencia central que divide la recta en dos sentidos o semirrectas.
• Sentido Positivo: Por convención, se extiende hacia la derecha del origen ($x > 0$).
• Sentido Negativo: Se extiende hacia la izquierda del origen ($x < 0$).
• Unidad de Medida (Escala): Distancia constante fijada entre enteros consecutivos (ej. la distancia entre $0$ y $1$ es la misma que entre $1$ y $2$).

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2. Propiedades Clave en la Recta Numérica

• Biyección (Completitud): A cada punto de la recta le corresponde exactamente un número real, y a cada número real le corresponde un único punto.
• Densidad: Entre dos puntos cualesquiera en la recta numérica (por muy cercanos que estén), existen infinitos números reales.
• Orden Lineal:
  • Si un punto $a$ se ubica a la izquierda de $b$, entonces $a < b$.
  • Si un punto $b$ se ubica a la derecha de $a$, entonces .

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3. Distancia y Valor Absoluto

• Valor Absoluto ($|a|$): Representa la distancia geométrica desde el origen ($0$) hasta el punto $a$. Dado que es una distancia, siempre es no negativa ($|a| \ge 0$).
• Distancia entre dos puntos ($d(a, b)$): La longitud del segmento que une los puntos y se calcula como:

$$d(a, b) = |b - a| = |a - b|$$

• Punto Medio ($M$): El punto equidistante entre $a$ y $b$ se obtiene mediante el promedio aritmético:

$$M = \frac{a + b}{2}$$

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4. Representación de Subconjuntos (Intervalos)

La recta numérica es la herramienta gráfica principal para representar intervalos de $\mathbb{R}$:

• Intervalo Abierto $(a, b)$: Puntos entre $a$ y $b$, sin incluir los extremos. Se representa con círculos abiertos o paréntesis: $\circ$---$\circ$.
• Intervalo Cerrado $[a$: Puntos entre y , incluyendo los extremos. Se representa con círculos rellenos o corchetes: ---.