Función Exponencial

1. Definición Formal

Una función exponencial es aquella de la forma:

$$f(x) = a^x$$

donde:

• $a$ es la base, con las condiciones: $a > 0$ y $a \neq 1$.
• $x$ es la variable independiente (exponente), con .

Nota: Si $a = 1$, la función se convierte en $f(x) = 1^x = 1$ (función constante), por lo que se excluye de esta categoría.

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2. Dominio, Rango y Asíntotas

Para la forma canónica $f(x) = a^x$:

• Dominio: $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} = \langle -\infty, +\infty \rangle$
• Rango: $\text{Ran}(f) = \mathbb{R}^+ = \langle 0, +\infty \rangle$

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3. Comportamiento y Monotonía según la Base

Caso 1: Base Creciente ($a > 1$)

• Comportamiento: Estrictamente creciente.
• Propiedad: Si $x_1 < x_2 \implies a^{x_1} < a^{x_2}$.

Caso 2: Base Decreciente ($0 < a < 1$)

• Comportamiento: Estrictamente decreciente.
• Propiedad: Si $x_1 < x_2 \implies a^{x_1} > a^{x_2}$.

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4. Función Exponencial Natural

Es el caso particular donde la base es el número de Euler ($e \approx 2.71828...$):

$$f(x) = e^x$$

• Al ser $e > 1$, es una función estrictamente creciente.
• Es fundamental en modelos de crecimiento continuo, física y cálculo preuniversitario.

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5. Transformaciones de la Gráfica $g(x) = c \cdot a^{x - h} + k$

• Desplazamiento horizontal ($h$):
  • $x - h$: desplaza $h$ unidades a la derecha.
  • $x + h$: desplaza $h$ unidades a la izquierda.

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6. Propiedades Algebraicas Esenciales para la Resolución de Problemas

• Inyectividad (Biunivocidad):

$$a^x = a^y \iff x = y \quad (\text{para } a > 0, a \neq 1)$$

• Leyes de Exponentes Aplicadas:
  • $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$
  • $$