Función Exponencial

1. Definición Formal

Una función exponencial es una función real de variable real definida por la regla de correspondencia:

$$f(x) = b^x$$

Donde:

• $b$ (base): Es una constante real tal que $b > 0$ y $b \neq 1$.
• $x$ (exponente): Es la variable independiente ().

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2. Dominio y Rango

Para toda función exponencial de la forma $f(x) = b^x$:

• Dominio: $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} = \langle -\infty, +\infty \rangle$
• Rango: $\text{Ran}(f) = \mathbb{R}^+ = \langle 0, +\infty \rangle$

Nota preuniversitaria: La gráfica nunca toca el eje $X$, pues este actúa como una asíntota horizontal ($y = 0$).

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3. Análisis de la Base y Comportamiento Gráfico

Caso 1: Base Creciente ($b > 1$)

• Monotonía: La función es estrictamente creciente.

$$\text{Si } x_1 < x_2 \implies b^{x_1} < b^{x_2}$$

• Límites clave:
  • Cuando $x \to +\infty$, $f(x) \to +\infty$
  • Cuando $x \to -\infty$,

Caso 2: Base Decreciente ($0 < b < 1$)

• Monotonía: La función es estrictamente decreciente.

$$\text{Si } x_1 < x_2 \implies b^{x_1} > b^{x_2}$$

• Límites clave:
  • Cuando $x \to +\infty$, $f(x) \to 0$
  • Cuando $x \to -\infty$, $$

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4. Propiedades Fundamentales

1. Intersección con el eje $Y$: Siempre corta en el punto $(0, 1)$, ya que $b^0 = 1$.
2. Punto de paso obligatorio: Pasa siempre por $(1, b)$, ya que .

$$b^{x_1} = b^{x_2} \iff x_1 = x_2$$

1. Signo: $f(x) > 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$.

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5. Función Exponencial Natural

Es el caso particular donde la base es el número de Euler ($e \approx 2.71828...$):

$$f(x) = e^x$$

Al ser $e > 1$, comparte todas las características del caso creciente.

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6. Transformaciones Comunes

Dada $g(x) = a \cdot b^{x - h} + k$:

• $h$ (Desplazamiento horizontal): Hacia la derecha ($h > 0$) o izquierda ($h < 0$).
• $k$ (Desplazamiento vertical): Define la nueva asíntota horizontal en $y = k$. El rango cambia a (si ).