Función Exponencial

1. Definición Formal

Una función exponencial es aquella de la forma:

$$f(x) = a^x$$

Donde:

• $a$ (base): Es una constante real positiva diferente de uno ($a > 0$ y $a \neq 1$).
• $x$ (exponente): Es la variable independiente y puede tomar cualquier valor real ().

Nota: Si $a = 1$, $f(x) = 1^x = 1$, la cual es una función constante, no exponencial. Si $a \le 0$, la función no está bien definida en todos los números reales.

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2. Dominio y Rango

• Dominio: $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} = \langle -\infty, +\infty \rangle$
• Rango: $\text{Ran}(f) = \mathbb{R}^+ = \langle 0, +\infty \rangle$

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3. Comportamiento y Análisis Gráfico

El comportamiento de la gráfica depende exclusivamente del valor de la base $a$:

Caso 1: Base Creciente ($a > 1$)

• La función es estrictamente creciente:

$$\text{Si } x_1 < x_2 \implies a^{x_1} < a^{x_2}$$

• Conforme $x \to +\infty$, $f(x) \to +\infty$.
• Conforme $x \to -\infty$, $$.

Caso 2: Base Decreciente ($0 < a < 1$)

• La función es estrictamente decreciente:

$$\text{Si } x_1 < x_2 \implies a^{x_1} > a^{x_2}$$

• Conforme $x \to +\infty$, $f(x) \to 0$.
• Conforme $x \to -\infty$, $f(x)$.

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4. Propiedades Fundamentales

1. Intersección con los ejes:
   • Eje Y: Corta siempre en el punto $(0, 1)$ porque $f(0) = a^0 = 1$.
   • Eje X: No existe intersección (la curva no toca el eje $X$).

$$a^{x_1} = a^{x_2} \iff x_1 = x_2$$

1. Continuidad:
   • Es continua en todo su dominio $\mathbb{R}$.

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5. Función Exponencial Natural

Es el caso particular donde la base es el número de Euler ($e \approx 2.718281...$):

$$f(x) = e^x$$

• Al ser $e > 1$, se trata de una función estrictamente creciente con asíntota horizontal en $y = 0$.