Intensidad y Nivel Sonoro

1. Intensidad Sonora ($I$)

La intensidad sonora es una medida de la rapidez con la que la energía acústica se propaga a través de una superficie perpendicular a la dirección de propagación de la onda.

• Definición matemática:

$$I = \frac{P}{A}$$

• $I$: Intensidad sonora en vatios por metro cuadrado ($\text{W/m}^2$).

• $P$: Potencia de la fuente sonora en vatios ($\text{W}$).

• $A$: Área transversal que atraviesa la onda ().

$$I = \frac{P}{4\pi r^2}$$

• Ley del inverso del cuadrado: La intensidad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia ($r$) a la fuente ($I \propto \frac{1}{r^2}$).

$$\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$$

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2. Umbrales de Audición Humana

El oído humano responde a un rango extremadamente amplio de intensidades a una frecuencia estándar de $1000\text{ Hz}$:

• Umbral de audición ($I_0$): Sonido mínimo perceptible.

$$I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$$

• Umbral de dolor: Límite a partir del cual el sonido causa daño físico.

$$I_{\text{dolor}} = 1 \text{ W/m}^2$$

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3. Nivel de Intensidad Sonora o Nivel Sonoro ($\beta$)

Debido a que la respuesta del oído humano es logarítmica (Ley de Weber-Fechner), se define una escala logarítmica adimensional para cuantificar la sonoridad.

• Ecuación fundamental:

$$\beta = 10 \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)$$

• $\beta$: Nivel sonoro, medido en decibelios ($\text{dB}$).
• $I$: Intensidad del sonido evaluado ($\text{W/m}^2$).
• $I_0$: Intensidad de referencia (, donde ).

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4. Propiedades y Casos Típicos para Exámenes

• Duplicación de la intensidad ($I_2 = 2I_1$):

$$\Delta\beta = 10 \log_{10}(2) \approx 3\text{ dB}$$

Al duplicar la potencia o intensidad, el nivel sonoro se incrementa en aproximadamente $3\text{ dB}$.

• Multiplicación por $10^n$:

  • Si $I_2 = 10 \cdot I_1 \rightarrow \Delta\beta = +10\text{ dB}$

$$\beta_2 - \beta_1 = 10 \log_{10}\left(\frac{I_2}{I_1}\right) = 20 \log_{10}\left(\frac{r_1}{r_2}\right)$$

• Superposición de fuentes incoherentes: Si se tienen $N$ fuentes idénticas independientes emitidas simultáneamente:

$$I_{\text{total}} = N \cdot I$$ $$\beta_{\text{total}} = \beta_1 + 10\log_{10}(N)$$