Intensidad y Nivel Sonoro

1. Intensidad Sonora ($I$)

La intensidad acústica o sonora es la rapidez promedio con la que la energía es transportada por una onda sonora por unidad de área perpendicular a la dirección de propagación.

Definición matemática:

$$I = \frac{P}{A}$$

• $I$: Intensidad sonora en vatios por metro cuadrado ($\text{W/m}^2$).
• $P$: Potencia de la fuente sonora en vatios ($\text{W}$).
• $A$: Área de la superficie que atraviesa la onda en metros cuadrados ().

Fuente puntual y propagación esférica:

Para una fuente que emite de manera isotrópica (igual en todas direcciones), el frente de onda es una esfera ($A = 4\pi r^2$):

$$I = \frac{P}{4\pi r^2}$$

Ley del inverso del cuadrado: La intensidad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia ($r$) a la fuente:

$$\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$$

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2. Límites de la Audición Humana

El oído humano responde a un rango extremadamente amplio de intensidades (a una frecuencia estándar de $1000\text{ Hz}$):

• Umbral de audición ($I_0$): Es la mínima intensidad perceptible por el oído humano promedio.

$$I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$$

• Umbral de dolor ($I_{\text{dolor}}$): Es la máxima intensidad que el oído tolera sin daño inmediato.

$$I_{\text{dolor}} = 1 \text{ W/m}^2 = 10^0 \text{ W/m}^2$$

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3. Nivel de Intensidad Sonora ($\beta$)

Debido a que la respuesta del oído humano a la intensidad sonora no es lineal sino logarítmica (Ley de Weber-Fechner), se define una escala logarítmica llamada nivel sonoro o nivel de intensidad sonora.

Fórmula:

$$\beta = 10 \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)$$

• $\beta$: Nivel sonoro, expresado en decibelios (dB).
• $I$: Intensidad de la onda sonora ($\text{W/m}^2$).
• $I_0$: Intensidad de referencia ().

Valores típicos de nivel sonoro:

• Umbral de audición: $\beta = 10 \log_{10}\left(\frac{10^{-12}}{10^{-12}}\right) = 0\text{ dB}$

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4. Propiedades y Casos Típicos Preuniversitarios

A. Duplicación de la intensidad ($I_2 = 2I_1$)

Cuando la intensidad se duplica (por ejemplo, dos fuentes idénticas funcionando juntas):

$$\Delta\beta = \beta_2 - \beta_1 = 10 \log_{10}\left(\frac{2I_1}{I_1}\right) = 10 \log_{10}(2) \approx +3\text{ dB}$$

B. Multiplicación de la intensidad por una potencia de 10 ($I_2 = 10^n I_1$)

$$\Delta\beta = 10 \log_{10}(10^n) = 10n\text{ dB}$$

• Si la intensidad se multiplica por $10$, el nivel aumenta en $10\text{ dB}$.
• Si la intensidad se multiplica por $100$, el nivel aumenta en $20\text{ dB}$.

C. Variación del nivel con la distancia

Si una fuente emite ondas esféricas y se evalúa el nivel sonoro en dos puntos $r_1$ y $r_2$:

$$\beta_2 - \beta_1 = 10 \log_{10}\left(\frac{I_2}{I_1}\right) = 10 \log_{10}\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = 20 \log_{10}\left(\frac{r_1}{r_2}\right)$$

D. Superposición de $n$ fuentes sonoras idénticas e incoherentes

Si se tienen $n$ fuentes sonoras iguales con la misma intensidad $I$ individual:

$$I_{\text{total}} = n \cdot I$$ $$\beta_{\text{total}} = \beta_{\text{individual}} + 10\log_{10}(n)$$