Movimiento Armónico Simple (M.A.S.)

El Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) es un movimiento oscilatorio y periódico rectilíneo producido por la acción de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional a la posición respecto al punto de equilibrio.

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1. Elementos y Parámetros Fundamentales

• Posición o Elongación ($x$): Distancia medida desde la posición de equilibrio ($x=0$) hasta el cuerpo en un instante dado.
• Amplitud ($A$): Máximo desplazamiento respecto a la posición de equilibrio ($|x_{máx}| = A$).
• Periodo ($T$): Tiempo que tarda el oscilador en completar un ciclo o vibración completa. Unidad: segundos ($s$).
• Frecuencia ($f$): Número de oscilaciones completas por unidad de tiempo ($f = \frac{1}{T}$). Unidad: Hertz ($Hz$).
• Frecuencia angular o pulsación ($\omega$): Tasa de cambio de la fase de oscilación.

$$\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$$

• Fase inicial ($\phi$): Determina el estado de movimiento en el instante $t = 0$.

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2. Ecuaciones Cinemáticas del M.A.S.

Asumiendo una función senoidal estándar:

Posición ($x$)

$$x(t) = A \cdot \text{sen}(\omega t + \phi)$$

Velocidad ($v$)

$$v(t) = \frac{dx}{dt} = A\omega \cdot \cos(\omega t + \phi)$$

• En función de la posición: $v = \pm \omega \sqrt{A^2 - x^2}$

Aceleración ($a$)

$$a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \cdot \text{sen}(\omega t + \phi) = -\omega^2 x$$

• Aceleración máxima: $a_{máx} = \omega^2 A$ (ocurre en los extremos, $x = \pm A$).

Nota: La aceleración siempre es opuesta al desplazamiento ($a \propto -x$).

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3. Dinámica del M.A.S.

Por la Segunda Ley de Newton y la Ley de Hooke:

$$F_R = -k \cdot x = m \cdot a$$ $$-k x = m(-\omega^2 x) \implies \omega^2 = \frac{k}{m}$$

• Frecuencia angular del sistema: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$

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4. Energía en el Movimiento Armónico Simple

El sistema es conservativo (no hay fricción):

• Energía Cinética ($E_c$):

$$E_c = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$$

• Energía Potencial Elástica ($E_p$):

$$E_p = \frac{1}{2} k x^2$$

• Energía Mecánica Total ($E_M$):

$$E_M = E_c + E_p = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} m v_{máx}^2 = \text{constante}$$

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5. Casos Típicos Preuniversitarios

1. Péndulo Simple (para pequeños ángulos $\theta < 10^\circ$):

$$\omega = \sqrt{\frac{g}{L}} \implies T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$$

1. Sistema Masa-Resorte:
   • No depende de la gravedad ni de la orientación (horizontal o vertical), el periodo siempre es $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$.