Lógica Proposicional

La lógica proposicional es una rama de la matemática que estudia las proposiciones, sus relaciones y la validez de los razonamientos a través de conectivos lógicos y tablas de verdad.

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1. Conceptos Fundamentales

• Enunciado: Cualquier frase, expresión u oración del lenguaje.
• Proposición Lógica: Enunciado aseverativo que tiene la propiedad de ser verdadero ($V$) o falso ($F$), pero no ambos a la vez.
  • Ejemplo: "$7$ es un número primo" ($V$).
  • No son proposiciones: Interrogaciones, exclamaciones, dudas o juicios de valor.
• Enunciado Abierto: Expresión que contiene variables y no tiene valor de verdad definido hasta que se asigne un valor a la variable (genera funciones proposicionales).
  • Ejemplo: $x + 3 = 8$.

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2. Tipos de Proposiciones

1. Simples (Atómicas): No contienen conectivos lógicos y expresan una sola idea.
2. Compuestas (Moleculares): Unión de dos o más proposiciones simples mediante conectivos lógicos o el uso de la negación.

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3. Conectivos Lógicos y Tablas de Verdad

Sean $p$ y $q$ proposiciones:

Reglas Prácticas de Memorización:

• Conjunción ($\land$): Solo es $V$ si ambas son verdaderas.
• Disyunción Débil ($\lor$): Solo es $F$ si ambas son falsas.
• Disyunción Fuerte ($\Delta$): Es $V$ cuando tienen valores de verdad opuestos.

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4. Clasificación de Fórmulas Proposicionales

Al evaluar la matriz principal de un esquema molecular:

• Tautología: Todos los valores finales son verdaderos ($V$). Representa una ley lógica.
• Contradicción: Todos los valores finales son falsos ($F$).
• Contingencia (o Consistencia): La matriz final contiene al menos un valor verdadero y al menos un valor falso.

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5. Principales Leyes de Equivalencia Lógica

Permiten simplificar esquemas moleculares complejos:

• Idempotencia:
  • $p \land p \equiv p$
  • $p \lor p \equiv p$
• Conmutativa:
  • $p \land q \equiv q \land p$