Lógica Proposicional

La lógica proposicional es la rama de la matemática que estudia las proposiciones y las formas en que se relacionan mediante conectivos lógicos, evaluando la validez de los razonamientos a partir del valor de verdad de sus premisas.

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1. Enunciado y Proposición Lógica

• Enunciado: Cualquier frase, expresión u oración del lenguaje formal o natural.
• Proposición lógica ($p, q, r, s$): Enunciado aseverativo que tiene la propiedad fundamental de ser verdadero ($V$) o falso ($F$), pero no ambos simultáneamente.
  • Ejemplo: "$7$ es un número primo" ($V$).
  • No son proposiciones: Preguntas, órdenes, exclamaciones o dudas (ej. "¿Qué hora es?", "¡Viva el Perú!").
• Enunciado abierto: Expresión que contiene variables y no posee un valor de verdad definido hasta que se le asigne un valor a la variable (ej. $x + 2 = 5$).

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2. Clases de Proposiciones

1. Proposiciones Simples (Atómicas): No contienen conectivos lógicos ni la negación. Expresan una sola idea.
   • Ejemplo: "El hierro es un metal".
2. Proposiciones Compuestas (Moleculares): Resultan de la unión de dos o más proposiciones simples mediante conectivos lógicos, o por la aplicación del operador de negación.
   • Ejemplo: "$8$ es par y múltiplo de $4$".

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3. Conectivos Lógicos y Tablas de Verdad

Sean $p$ y $q$ dos proposiciones simples:

A. Negación ($\sim p$ o $\neg p$)

Invierte el valor de verdad de la proposición.

• Regla: Es $V$ si la proposición es $F$, y viceversa.

B. Conjunción ($p \land q$)

Equivale a la "y".

• Regla: Solo es verdadera ($V$) si ambas proposiciones son verdaderas. En los demás casos es falsa.

C. Disyunción Débil o Inclusiva ($p \lor q$)

Equivale a la "o".

• Regla: Solo es falsa ($F$) si ambas proposiciones son falsas. En los demás casos es verdadera.

D. Disyunción Fuerte o Exclusiva ($p \ \Delta \ q$ o $p \oplus q$)

Equivale a "o bien $p$ o bien $q$".

• Regla: Es verdadera ($V$) si las proposiciones tienen diferente valor de verdad; es falsa si tienen valores iguales.

E. Condicional ($p \to q$)

Estructura "Si $p$, entonces $q$" ($p$: antecedente, $q$: consecuente).

• Regla: Solo es falsa ($F$) cuando el antecedente es verdadero ($V$) y el consecuente es falso ($F$) ($V \to F \equiv F$). En el resto de casos es verdadera.

F. Bicondicional ($p \leftrightarrow q$)

Estructura "$p$ si y solo si $q$".

• Regla: Es verdadera ($V$) cuando ambas componentes tienen el mismo valor de verdad (ambas $V$ o ambas $F$).

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4. Clasificación de Esquemas Moleculares

Al evaluar la matriz principal de una tabla de verdad con $2^n$ filas (donde $n$ es el número de proposiciones simples distintas):

• Tautología: La matriz principal está compuesta únicamente por valores verdaderos ($V$).
• Contradicción: La matriz principal está compuesta únicamente por valores falsos ($F$).
• Contingencia: La matriz principal contiene al menos un valor verdadero y al menos uno falso.

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5. Principales Leyes Lógicas (Equivalencias Notables)

• Idempotencia:
  • $p \lor p \equiv p$
  • $p \land p \equiv p$
• Doble Negación:
  • $\sim(\sim p) \equiv p$