Números primos

Definición

Un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene exactamente dos divisores positivos: el 1 y sí mismo.

• Ejemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...
• El número 2 es el único número primo par.
• El número 1 no se considera primo, porque solo tiene un divisor (él mismo).

Números compuestos

Un número compuesto es un número natural mayor que 1 que no es primo, es decir, tiene más de dos divisores positivos.

• Ejemplos: 4, 6, 8, 9, 10, 12...

Teorema fundamental de la aritmética

Todo número natural mayor que 1 puede expresarse de manera única (sin importar el orden) como producto de números primos. A esto se le llama factorización prima o descomposición en factores primos.

• Ejemplo: 84 = 2² × 3 × 7

Criterios de divisibilidad útiles (para identificar primos)

Para verificar si un número es primo, se puede comprobar si es divisible por algún número primo menor o igual a su raíz cuadrada. Algunos criterios rápidos:

• Divisible por 2: termina en cifra par.
• Divisible por 3: la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.
• Divisible por 5: termina en 0 o 5.
• Divisible por 11: la diferencia entre la suma de dígitos en posición par e impar es 0 o múltiplo de 11.

Criba de Eratóstenes

Método práctico para hallar todos los números primos menores que un número dado.

1. Escribir la lista de números desde 2 hasta N.
2. Comenzar con el primer número no tachado (2) y tachar todos sus múltiplos.
3. Repetir con el siguiente número no tachado (3, 5, 7...) hasta superar la raíz cuadrada de N.
4. Los números que quedan sin tachar son primos.

Propiedades importantes

• Existen infinitos números primos (demostrado por Euclides).
• Si un número primo divide al producto de dos números enteros, entonces divide al menos a uno de ellos (Lema de Euclides).
• Todo número primo mayor que 3 es de la forma 6k ± 1 (aunque no todo número de esa forma es primo).

Aplicaciones

• Criptografía: los números primos grandes son la base del cifrado RSA.
• Matemáticas: fundamentales en teoría de números y en la resolución de problemas de divisibilidad.
• Algoritmos: generación de números pseudoaleatorios y hash.

Ejercicio rápido

Determina si 97 es primo.

• Se verifica divisibilidad por primos ≤ √97 ≈ 9.8 → primos: 2, 3, 5, 7.
• 97 no es divisible por 2, 3, 5 ni 7 (97 ÷ 7 ≈ 13.85).
• Por lo tanto, 97 es primo.