Divisibilidad: Criterios, Números Primos y MCD/MCM
1. Concepto de Divisibilidad
Un entero a divide a otro entero b (se denota a | b) si existe un entero k tal que b = a · k. En tal caso, decimos que a es divisor de b y que b es múltiplo de a.
Propiedades básicas
- Reflexiva: Todo número entero no nulo se divide a sí mismo: a | a.
- Transitiva: Si a | b y b | c, entonces a | c.
- Linealidad: Si a | b y a | c, entonces a | (b + c) y a | (b - c).
- Multiplicativa: Si a | b, entonces a · c | b · c para cualquier entero c.
- Divisor de cero: Todo entero no nulo divide a 0.
- Relación con el producto: Si a | b, entonces |a| ≤ |b| (excepto si b = 0).
2. Criterios de Divisibilidad
| Número | Criterio |
|---|
| 2 | La última cifra es par (0, 2, 4, 6, 8). |
| 3 | La suma de sus cifras es múltiplo de 3. |
| 4 | Las dos últimas cifras forman un múltiplo de 4. |
| 5 | La última cifra es 0 o 5. |
| 6 | Es divisible por 2 y por 3 a la vez. |
| 7 | Duplicar la última cifra y restarla del resto; el resultado es múltiplo de 7. |
| 8 | Las tres últimas cifras forman un múltiplo de 8. |
| 9 | La suma de sus cifras es múltiplo de 9. |
| 10 | La última cifra es 0. |
| 11 | La suma de las cifras en posición impar menos la suma en posición par es múltiplo de 11 (incluido 0). |
| 12 | Divisible por 3 y por 4 a la vez. |
| 13 | Multiplicar la última cifra por 9 y restar del resto; el resultado es múltiplo de 13. |
3. Números Primos y Compuestos
- Número primo: Entero mayor que 1 que solo tiene dos divisores positivos: 1 y sí mismo.
- Número compuesto: Entero mayor que 1 que tiene más de dos divisores positivos.
- El número 1 no es primo ni compuesto.
Teorema Fundamental de la Aritmética
Todo entero mayor que 1 puede descomponerse de manera única (salvo el orden) como producto de números primos. Esta es la descomposición en factores primos.
Ejemplo: 180 = 2² · 3² · 5.
Primos relativos (coprimos)
Dos números son primos entre sí si su máximo común divisor es 1. Ejemplo: 9 y 16.
4. Máximo Común Divisor (MCD)
El MCD de dos o más enteros es el mayor divisor común. Se calcula:
- Descomponiendo en factores primos y tomando los factores comunes con su menor exponente.
- Mediante el algoritmo de Euclides:
- Se divide el mayor entre el menor.
- Se divide el divisor anterior entre el resto.
- Se repite hasta obtener resto 0; el último divisor es el MCD.
Propiedades
- MCD(a, b) = MCD(b, a)
- MCD(a, b) · mcm(a, b) = |a · b|
- Si MCD(a, b) = 1, entonces a y b son coprimos.
5. Mínimo Común Múltiplo (MCM)
El MCM de dos o más enteros es el menor múltiplo común positivo. Se obtiene tomando los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente.
Aplicaciones
- Resolución de problemas de reparto, planificación temporal, engranajes, etc.
- Para sumar fracciones con distinto denominador.
6. Aplicaciones de la Divisibilidad
- Criptografía: La seguridad RSA se basa en la factorización prima de números grandes.
- Generación de números aleatorios y algoritmos de hash.
- Calendarios: Cálculo de años bisiestos (divisibilidad por 4, 100 y 400).
- Códigos de control (DNI, ISBN, etc.) usan congruencias.
7. Resumen Visual
Divisibilidad
├── Definición
├── Criterios (2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13)
├── Números primos y compuestos
│ └── Teorema Fundamental
├── MCD
│ ├── Descomposición factorial
│ └── Algoritmo de Euclides
└── MCM
└── Descomposición factorial
8. Consejos Prácticos
- Para verificar si un número es primo, basta probar divisores primos hasta su raíz cuadrada.
- El MCD de varios números se puede calcular en cadena: MCD(a, b, c) = MCD(MCD(a, b), c).
- El MCM de varios números se calcula de forma similar.
- Dominar los criterios de divisibilidad ahorra tiempo en la descomposición factorial.
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