Un número entero a es divisible entre un número entero b (con b ≠ 0) si existe un entero k tal que: a = b · k
En ese caso se dice que b divide a a, y se escribe b | a.
Si b | a, entonces a es múltiplo de b, y b es divisor o factor de a.
Si b no divide a a, se escribe b ∤ a.
2. Propiedades fundamentales
Reflexiva: Todo número entero no nulo se divide a sí mismo: a | a.
Transitiva: Si a | b y b | c, entonces a | c.
Combinación lineal: Si a | b y a | c, entonces a | (b·x + c·y) para cualesquiera enteros x, y.
División por 1 y por sí mismo: 1 divide a todo entero, y todo entero no nulo se divide a sí mismo.
Signo: Si a | b, entonces también a | (−b) y (−a) | b.
Cero: Todo número entero no nulo divide a 0, pero 0 no divide a ningún número.
3. Números primos y compuestos
Número primo: Entero mayor que 1 que solo tiene como divisores positivos a 1 y a sí mismo.
Ejemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13…
Número compuesto: Entero mayor que 1 que no es primo, es decir, tiene más de dos divisores positivos.
Ejemplos: 4, 6, 8, 9, 10…
Teorema Fundamental de la Aritmética: Todo entero mayor que 1 se puede expresar de forma única como producto de números primos (salvo el orden de los factores).
Ejemplo: 84 = 2² · 3 · 7
4. Criterios de divisibilidad más comunes
Divisibilidad por 2: La última cifra es par (0, 2, 4, 6, 8).
Divisibilidad por 3: La suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Divisibilidad por 4: Las dos últimas cifras forman un múltiplo de 4.
Divisibilidad por 5: La última cifra es 0 o 5.
Divisibilidad por 6: Es divisible por 2 y por 3 a la vez.
Divisibilidad por 9: La suma de sus cifras es múltiplo de 9.
Divisibilidad por 10: La última cifra es 0.
Divisibilidad por 11: La diferencia entre la suma de las cifras en posición par y la suma de las cifras en posición impar es 0 o múltiplo de 11.
5. Máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (MCM)
MCD: Mayor divisor común a dos o más números. Se puede calcular descomponiendo en factores primos y tomando los factores comunes con su menor exponente.
MCM: Menor múltiplo común positivo. Se calcula tomando los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.
Relación fundamental: a · b = MCD(a, b) · MCM(a, b)
6. Algoritmo de Euclides
Método eficiente para hallar el MCD de dos números.
Se basa en divisiones sucesivas: a = b·q + r
Entonces MCD(a, b) = MCD(b, r).
Se repite hasta obtener resto 0; el último divisor no nulo es el MCD.
Formatom