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Mapa Mental: Definición y Propiedades de la Potenciación

Contenido del mapa

Potenciación — Abrevia la multiplicación repetida de un mismo número.
- Definición — Idea central y elementos de la potencia.
  - Fórmula a^n — a^n es multiplicar a por sí misma n veces.
  - Elementos — Base (a): factor que se repite. Exponente (n): veces que se repite.
  - Ejemplo base — 2^3 = 2·2·2 = 8 y 5^2 = 25.
- Exponentes especiales — Extensión de la definición más allá de n natural.
  - Exponente cero: a^0=1 — Válido para a distinto de 0. 0^0 no se define.
  - Exponente uno: a^1=a — Toda base elevada a 1 es ella misma.
  - Exponente negativo — a^-n = 1/a^n. Ejemplo: 2^-3 = 1/8.
- Signo de la potencia — El signo depende de la base y del exponente.
  - Base positiva — Siempre da resultado positivo. Ejemplo: 3^2=9.
  - Base negativa par — Exponente par da positivo. (-2)^4=16.
  - Base negativa impar — Exponente impar da negativo. (-2)^3=-8.
  - Cuidado: -2^2 — (-2)^2=4 pero -2^2=-(2^2)=-4.
- Propiedades fundamentales — Reglas para multiplicar, dividir y elevar potencias.
  - Producto bases iguales — a^m·a^n = a^(m+n). Ej: 2^3·2^2=2^5.
  - Cociente bases iguales — a^m/a^n = a^(m-n). Ej: 3^5/3^2=3^3.
  - Potencia de potencia — (a^m)^n = a^(m·n). Ej: (5^2)^3=5^6.
  - Potencia de producto — (a·b)^n = a^n·b^n. Ej: (2·3)^2=36.
  - Potencia de cociente — (a/b)^n = a^n/b^n. Con inversión: (a/b)^-n=(b/a)^n.
- Errores frecuentes — Confusiones que debes evitar al aplicar propiedades.
  - Suma no se suma exponentes — a^m+a^n no es a^(m+n). Ej: 2^2+2^3=12.
  - Binomio no se distribuye — (a+b)^n no es a^n+b^n. Ej: (1+2)^2=9.
  - Potencia no es suma — (a^m)^n = a^(m·n), no a^(m+n). Ej: (2^3)^2=2^6.

La potenciación es la operación que abrevia la multiplicación repetida de un mismo número. Si la base es a y el exponente es n natural, a^n significa multiplicar a por sí misma n veces. La base es el factor que se repite, el exponente indica cuántas veces se repite y la potencia es el resultado.

La definición se extiende a exponentes especiales: todo número distinto de cero elevado a 0 es 1, elevado a 1 es él mismo, y con exponente entero negativo se invierte como a^-n = 1/a^n. El signo del resultado depende de la base y la paridad del exponente: base positiva siempre da positivo, base negativa da positivo si el exponente es par y negativo si es impar.

Para operar potencias se usan seis propiedades fundamentales: producto y cociente de bases iguales, potencia de potencia, potencia de un producto y de un cociente, y exponente negativo. Estas permiten simplificar expresiones combinadas, pero no se aplican a sumas: errores típicos son confundir a^m + a^n con a^(m+n) o (a+b)^n con a^n + b^n.